72 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
détermine sans ambiguïté le cosinus de l'un quelconque des 
angles des deux demi-droites qui joignent l'un quelconque des 
points réels d'intersection des deux sphères respectivement 
aux centres des sphères. 
Si les deux sphères, quoique réelles, ne se coupent pas sui- 
vant un cercle réel, nous conserverons la même formule pour 
définir le cosinus de l'angle des deux sphères, dont nous suppo- 
serons toujours les rayons essentiellement positifs. L'angle v 
sera alors purement imaginaire. 
On pourra avoir affaire à des sphères de centre réel et de 
rayon purement imaginaire, ir. Alors nous conviendrons de 
supposer r essentiellement positif. 
Sous ces conditions, le cosinus de l'angle de deux sphères a 
une valeur unique, bien déterminée dans tous les cas. 
Deux sphères sont dites o?ihogonales lorsque le cosinus de 
leur angle s'annule. Alors d^ zn r^ -|- r'^. Si les deux sphères 
sont réelles, elles se coupent suivant un cercle réel et à angle 
droit. Si l'une a un rayon nul, son centre est situé sur l'autre. 
Si l'une des deux sphères a un rayon purement imaginaire, i7\ 
soit S la sphère réelle qui a le même centre, et qui a pour 
rayon r, l'autre sphère, supposée réelle, coupe la sphère S 
suivant un grand cercle. Deux sphères concentriques, l'une de 
rayon r, l'autre de rayon ù% sont orthogonales. 
Ceci rappelé, j'imagine cinq sphères, Si,...,S5, orthogonales 
deux à deux, auxquelles je donne le nom de sphères fonda- 
mentales. 
S étant une sphère quelconque, je choisis pour coordonnées 
de S les cosinus des angles qu'elle fait avec les sphères fonda- 
mentales. 
La sphère ayant pour coordonnées ^, , ..., x^ sera appelée la 
sphère œ. 
On a œl -\- œl + xl + œ^ -]- œl — \. 
J'appelle ensemble Çq le complexe des sphères orthogonales à 
une sphère fixe ç. L'équation de l'ensemble Bq sera 
H 
