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Les dix quantités py sont les dix coordonnées homogènes de 
la famille. 
Les dix quantités q^^-^ sont les coordonnées homogènes de la 
suite, et l'on a : 
^Pil ~ ^345 . nhi — — ^245 r ^Ih \ = Q.35 > ^^^15 = — Qn\ ^ 
GP23 = ^,',5 -, '^Pn = — (?135 , «^^^25 = + ^134 •- '^P^i = — ^«25 . 
«^2?35 = — ^124 ■> ^/'45 =^ ^123 • 
Entre les dix coordonnées pij existent les relations 
Q„ = p^.; pst + P^i Pv; + m, P-tH ~0 (a = ] , 2, 3, 4, 5). 
Ces cinq relations se réduisent à trois distinctes. 
Si l'on pose 
2Û« {p I p') — p^-i p's. + p'?v PS^ + PP^ P'^-i + P'^^ P'-: + P^^ P\^ + 
+ P'p- P-i^ ~ 
les conditions, pour que les deux familles p et p/ aient une 
suite commune, seront 
Q.{p\p')-Q (a = l,2, 3,4, 5). 
Ces conditions se réduisent à deux. 
La condition pour que la famille p et la suite q (non asso- 
ciées) aient une sphère commune est 
Pi^ Q3iô — Pi3 ?2i5 + Pu Q'm — Pt5 ^231 + P23 ^145 " P'2i ^135 "l" 
+ ^25 Ql3i — P30 Qin + ^45 ^<23 + Pzi (?125 = 0. 
3. J'appelle absolu le complexe quadratique des sphères de 
rayon nul 
œl+ ... + œ.l=:0. 
A une sphère de rayon nul est associé l'ensemble des sphères 
qui passent par un point, le centre de cette sphère de rayon 
nul. 
Deux familles p et p' ont en commun la sphère associée qui 
a pour coordonnées 
Q,{p\p') (a=:l,2, 3,4, 5). 
