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Supposons, ce qui est permis, que les sphères y), r/, yj" soient 
orthogonales deux à deux, les sphères 
U + l^ (r] cos (^/i) + r/ COS (?r/) + r/' cos {^r/')) , 
où - est arbitraire, sont celles de la suite perpendiculaire com- 
mune. 
Soient B et B' deux familles, B^ et B'o les suites associées. 
Les deux suites Bo et B'o sont dans un même ensemble A, qui 
est le lieu des suites à la fois orthogonales à B et à B'. 
L'ensemble A coupe la famille B suivant une suite G, et la 
famille B' suivant une suite C. Les quatre suites B^, B'^, G, G' 
sont dans un même ensemble A. Il existe donc deux suites 
r et r' les rencontrant toutes les quatre. T et r' sont les deux 
suites perpendiculaires communes aux deux familles B et B. 
Soient [^iCCi] =: 0, [r/iXi =: les équations de la famille B. 
[Ç',â?i] z= Q, [r/iXi] zzO les équations de la famille B'. 
Il est toujours permis de supposer que les sphères ç et v] se 
coupent orthogonalement, ainsi que les sphères ?' et *o'. Gonsi- 
dérons les 4 sphères 
ç = >v^ + FI , tu: lil -\- [/.(Y) , 
et écrivons qu'on a 
cos(t;T) = 0, cos(ç't'):i=0, cos(çç') = 0, cos(tt') = 0. 
Il vient : 
r\\ + y:ij\ - 0, 
XV cos (^V) -h >^l^' cos C;y3') + XV cos (E'r,) -f \x\j.' cos (y)y)') = 0, 
X,V, cos {IV) + X,[j.'t cos (^Y)') + V,i;., cos (E'y)) + [/.iij/, cos (yît/) — 0. 
La dernière équation peut s'écrire, en vertu des deux pre- 
mières. 
