84 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
les sphères suivant lesquelles la suite perpendiculaire com- 
mune coupe l'ensemble A et la suite G, on a 
cos2 iaa') — cos2 (ç-rj) + cos^ (ç-r;') + cos^ (|y)"). 
Enfin, imaginons une sphère a, commune aux quatre ensem- 
bles [r,,â7,] zzO, [ïj'iâTt] = 0, [Yi"f^»J z=0, [rl"iXi]zzzO, et soit 
a' la sphère suivant laquelle elle se projette orthogonalement 
sur l'ensemble [lif\i] :=z 0, si nous supposons que les sphères 
*/], r/, r"^ ri" se coupent orthogonalement deux à deux, on a 
cos2 {aa') — cos2(Çy]) + cos2 (Çr)') + cos^ (Çy)") + cos^ (Çr/"). 
Je passe aux plus courtes distances de deux familles B et B'. 
Nous avons vu (| 6) que les équations \(,%Xi\ ziz 0, \yiXi\ =r 
de la famille B, et les équations \t,iXÎ\ zz 0, [-c'ix'i] = de la 
famille B' pouvaient être choisies de façon que Ç, t ; ?',-:'; 
Ç, ç'; T, t' forment quatre groupes de deux sphères orthogonales. 
Soient a et a' les sphères suivant lesquelles la suite détermi- 
née par Ç et t' coupe les deux familles B et B'. 
Soient b et b' les sphères suivant lesquelles la suite détermi- 
née par ç' et t coupe les deux familles B et B'. 
Il vient cos^ (aa') =: cos^ (Çt'), • ■ 
cos2(&&') ==cos2(!;'t). 
Si je considère la famille B et la suite B'o, les plus courtes 
distances seront 
cos2(ax') =sin2(!:, t') 
et - cos2(a'r) = sin2 (i;',T). 
Si les deux familles B et B' ont une suite commune, une de 
leurs deux plus courtes distances s'annulera. Il en sera de 
même pour une famille et une suite qui auraient une sphère 
commune. 
Si les deux familles sont simplement orthogonales, l'une des 
plus courtes distances se réduira à ^ . Si elles sont doublement 
orthogonales, les deux plus courtes distances se réduiront 
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