SÉANCE DU l^"" FÉVRIER 1900. 185 
Le groupe des rotations de Pp contient comme sous-groupe 
invariant le groupe des rotations de P,. 
Étudions ce dernier. 
6. Soit ( ?/, =: «11^, + «,2ir2 + ... + ^l'ii^n 
7/2 = ttr^iCCi -\- «22^2 + ... -h «2«^n 
y,, = anlXi -f a„2^2 + ••• + ClnnXn 
une slibstitution linéaire à n variables. 
On peut chercher les substitutions de cette forme qui per- 
mutent entre eux les sommets de P,. C'est ainsi que je définis 
le groupe des rotations de Pj. 
On a 
. /n + 1 . /ï , A + 1 . /ï 
De là une substitution immédiate possédant la propriété in- 
diquée ; c'est 
Vi = a?, , 2/2 ~.r^ ... z/«-i = a:„-i , yn=i — œn. 
Pour les n — 1 premiers sommets, la dernière coordonnée 
est nulle. 
La substitution permute donc les deux derniers sommets 
seulement. 
L'espac€ E,,— i, qui a pour équation â?,, = 0, contient les 
n — 1 premiers sommets. Les deux derniers sommets sont 
symétriques par rapport à cet espace. La substitution considé- 
rée est une symétrie par rapport à cet espace. 
D'une façon générale, deux sommets quelconques de P, sont 
symétriques par rapport h l'espace En_i qui passe par l'origine 
et les n — 1 autres sommets. 
Le groupe des substitutions linéaires envisagées sera donc 
isomorphe au groupe symétrique de degré (n + 1). 
On peut, de la manière suivante, établir n substitutions gé- 
nératrices du groupe. 
