268 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
inutile de rappeler, on arrive à la proposition suivante : 
M et M' étant les deux points où une sphère variable 
touche son enveloppe, les développables de la congruence 
engendrée par MM' doivent découper les deux nappes (M) 
et {M') suivant des systèmes orthogonaux ^ ; les points 
focaux de MM' doivent être conjugués harmoniques par 
rapport à M et M'. 
La proposition précédente, qui exprime des conditions 
nécessaires et suffisantes, peut se transformer en vertu 
d'un théorème de Ribaucour, et l'on peut dire : 
• Les points M et M' doivent être les centres de sphèy^es de 
rayon nul qui passent par un cercle G engendrant un sys- 
tème cyclique; les développables de la cong^^uence cycli- 
que engendrée par MM' doivent découper les surfaces 
(M) et (M'), lieux de (M) (M'), suivant des Systèmes ortho- 
gonaux. 
3. Si l'on cherche quels sont les systèmes orthogonaux 
dont il vient d'être question et qui sont découpés sur (Mj 
et (M') par les développables de la congruence engendrée 
par MM', on trouve immédiatement que ce sont les lignes 
de courbure de (M) et de (M'). 
Or, d'après ce que nous avons dit plus haut, les surfaces 
(M) et (M') sont des surfaces conjuguées ponctuelles par 
rapport à la congruence des droites MM', et d'après un beau 
théorème de M. Koenigs^, nous devons conclure que : 
Les systèmes conjugués formées par les lignes de cour- 
bure de (M) et (W) ont leurs invariants ponctuels égaux. 
Pour parler autrement : 
Les surfaces (M) et (W) sont isothermiques. 
Cette proposition qui, on le voit, est une conséquence 
immédiate des résultats n° 2, a permis à M. Darboux de 
1, Il suffit même que cela ait lieu pour une seule des deux nappes, 
la condition complémentaire étant supposée remplie. 
2. G. Kœnigs, Sur les systèines conjugués à invariants égaux. 
[Comptes rendus, t. CXIIL pp. 1022-1024, 28 décembre 1891.) 
