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priétés et donne-t-il encore une solution du problème de 
Ribaucour, et cela soit pour toutes les formes de la surface 
que l'on déforme, soit pour certaines de ces formes ? 
Nous allons envisager cette question successivement pour 
les cercles C et pour les C ; dans chacun de ces cas, il nous 
sera utile de transformer les résullats des n°' 2 et 3 ou 
d'en tirer des conséquences. 
5. Commençons par les cercles G et introduisons la sur- 
face (Qi) déformée de la surface (Q) enveloppe des plans 
des cercles G et telle que les nouvelles positions de ces 
cercles soient toutes sur une sphère de rayon nul dont nous 
désignerons le centre par M^ ; soit (M'i) la surface lieu des 
symétriques de M^ par rapport aux plans tangents de (Qi), 
c'est-à-dire la surface lieu des seconds foyers des nouvelles 
positions des cercles G. 
Remarquons que l'axe du cercle G' est la polaire de la 
corde de contact de la sphère avec son enveloppe et est aussi 
la polaire du point Q de (Q), par rapport au cercle G qu'elle 
rencontre aux deux foyers du cercle G' ; pour que le sys- 
tème cyclique, formé des cercles G, -satisfasse à la question, 
il faut et il suffit donc que les points focaux de cette droite 
soient conjugués par rapport au cercle G; en d'autres ter- 
mes : 
Pour que le systètne cyclique^ formé des cercles G;, satis- 
fasse à la question, il faut et il suffit que les tangentes 
auQc courbes du système conjugué commun a (Q,) et à (Q,\) 
soient conjuguées par rapport au cercle G^ 
Gette proposition, qui a l'avantage de se rapporter soit 
à (Q), soit à (Qi), peut se transformer de la façon sui- 
vante : 
Pour que le système cyclique, formé des cercles G, satis- 
fasse à la question, il faut et il suffi que les courbes du 
1. On déduit facilement de là toutes les solutions du problème de 
Ribaucour dans lesquelles les droites MM' sont normales à une 
même surface. 
