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est qu'il existe deux trajectoires orthogonales (M), (M') des 
cercles telles que les points focaux de MM' soient conjugués 
par rapport à M et M'. 
Désignons par (Qj') la surface déformée de la surface (Q') 
enveloppe des plans des cercles G' et telle que les nouvelles 
positions de ces cercles soient toutes sur une sphère de 
rayon nul dont nous désignerons le centre par Ni; les nou- 
velles positions Mg, M^' des points M, M' se trouveront tou- 
tes respectivement sur deux droites isotropes issues de Ni; 
cela étant, on a évidemment la proposition suivante : 
Pour que le système cyclique, formé des cercles G', satis- 
fasse à la question, il faut et il suffit que les tangentes 
auœ courbes du systètne conjugué commun à (Q! ) et à fQ/) 
soient conjuguées harmoniques par rappo7H aux deux 
droites Q'M, Q'M' ou par 7'apport aux deux droites Qi'Mg, 
Q'iMg', suivant que Von envisage la surface (Q! ) ou la sur- 
face fQi'j. 
Appliquons cette proposition. 
1" Si le système cyclique formé par les nouvelles positions 
des cercles G' doit donner une solution du problème de 
Ribaucour, et cela pour toutes les déformées de la sur- 
face (Q'), les droites Qi'Mg, Qi'M^' devront être conjuguées 
harmoniques par rapport aux tangentes des différents 
réseaux conjugués communs à (Qi') et aux surfaces appli- 
cables sur cette dernière; ces droites devront par conséquent 
être les tangentes asymptotiques de (Qi'); celles-ci rencon- 
trent donc les deux droitts isotropes N^Mg, NiM'a, et, par 
suite, (Qi') doit être une quadrique passant par ces deux 
droites isotropes et admettant ainsi Ni comme ombilic. 
Les solutions relatives à ce premier cas correspondent 
donc toutes, comme on le voit, à la proposition établie par 
MM. Darboux et Guichard et qui comprend les résultats du 
même ordre établis dans ces dernières années, soit comme 
cas particuliers, soit comme cas limites. 
2'' Si le système cyclique formé par les nouvelles posi- 
tions des cercles G' doit donner une solution du problème 
