SUR UNE PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE. 181 
naturellement associée la courbe de Bertrand conjuguée (0'), 
qui a les mêmes normales principales que (0), et dont le Irièdre 
principal est invariablement lié, comme on sait, à celui de 
cette courbe (0). 
2. — Le mode de génération dont on vient de parler se 
déduit, comme on le verra plus loin, d'une propriété caracté- 
ristique des courbes de Bertrand que j'établirai tout d'abord, en 
faisant remarquer qu'elle est la généralisation d'une autre 
obtenue, en partie, par M. Pirondini^ et que j'ai eu moi-même 
l'occasion de compléter-. La propriété dont il s'ayit s'énonce 
ainsi : 
Lorsque, dans toutes les positions d'un système invariable 
en mouvement , quatre droites de ce système linéairement 
indépendantes, c'est-à-dire n'appartenant pas à la fois à une 
quadrique, sont coustamment normales aux trajectoires de 
leurs différents points : 
P Les pieds et 0' de la perpendiculaire commune aux 
deux droites D et D' qui rencontrent les quatre droites propo- 
sées décrivent deux courbes de Bertrand conjuguées (0) et 
(0'); 
2" Le mouvement du système est produit par le déplacement 
des trièdres principaux, invariablement liés entre eux, des 
courbes (0) et (0') ; 
3° Les droites faisant partie de la congruence linéaire- dont 
D et D' sont les directrices coupant aussi normalement, dans 
chaque position du système, les trajectoires de tous leurs 
points. 
3. — Avant d'exposer la démonstration de ce théorème, je 
rappellerai, pour la commodité du lecteur, et en les empruntant 
au grand traité de M. Darboux'', les résultats concernant le 
déplacement d'un système invariable rapporté à un trièdre 
1. Nouvelles Annales de mathémaligues (3« série, t. IX, p. 297). 
2. Mémoires de VAcadémie des Sciences de Toulouse (9e série, 
t. VIII, p. 2C8), et Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse 
(1896, F, p. 6). 
3. Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. I, p. 8. 
