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normale de (O')est parallèle à D. Les deux premières parties de 
la proportion sont ainsi établies. Pour démontrer la troisième, 
il suffit d'observer que la relation (5) étant une identité en À 
et (x, toute droite A rencontrant D et D', c'est-à-dire faisant 
partie de la congruence linéaire dont D et D' sont les direc- 
trices , appartient , par cela même , au complexe défini par 
l'équation (3) et coupe, dès lors, normalement les trajectoires 
de ses différents points, dans toute position du système. 
7. — La réciproque de cette proposition est aisée à démon- 
trer. Soient (0) et (0') deux courbes de Bertrand conjuguées, 
et 0' deux points de ces courbes qui se correspondent, c'est- 
à-dire pour lesquels les normales principales aux deux courbes 
sont les mêmes; OG et O'G', les tangentes à (O) et (0') aux 
points et O', et OH, O'H' les binormales aux mêmes points. 
Soient enfin D et D' les droites menées respectivement par 
et 0', parallèlement aux binormales 0' H' et OH. .Je dis que, 
dans le déplacement simultané des trièdres principaux de (0) 
et de (0'), qui sont, comme on sait, invariablement liés entre 
eux, toute droite A du système qui rencontre D et D' est cons- 
tamment normale aux trajectoires de ses différents points. 
Si l'on rapporte, en effet, le système au trièdre de référence 
défini au n^ 5, et qui est invariablement lié aux trièdres prin- 
cipaux des courbes (0) et (O'), les équations de D et de D' 
seront celles du n° 4 et, pareillement, d'après le choix fait pour 
les axes, on retrouvera, pour les tangentes OG et O'G', les 
équations données au n» 6. On aura d'abord : 
puisque, dans le déplacement du trièdre principal d'une courbe 
quelconque (0), l'axe central coupe à angle droit la normale 
principale de (0). En outre, les deux dernières équations (5) 
seront vérifiées, car, d'après les équations des tangentes OG 
et O'G' on doit avoir, à la fois, 
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