SUR UNE PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE. 193 
que cette courbe est une hélice tracée sur un cylindre arbitraire 
dont les génératrices sont parallèles à D, puisque cette relation 
exprime que le rapport des courbures de (O) est le nombre 
constant k. 
De plus, l'équation (9) étant une identité en \ et jx, toutes les 
droites rencontrant D et parallèles au plan P ou, ce qui revient 
au même, appartenant à la congruence linéaire dont D et D' 
sont les directrices, restent constamment normales aux trajec- 
toires de leurs différents points. La proposition a donc encore 
lieu dans le cas particulier actuellement envisagé, car les hélices 
cylindriques sont des courbes de Bertrand. Le pied 0, surD, de 
la perpendiculaire commune à D età D' est un point quelconque 
de D et décrit une hélice, toujours égale à elle-même. 
On démontrerait la réciproque par un raisonnement analogue 
à celui qui a été employé aux n"^ 7 et 11. En résumé, la pro- 
priété énoncée au n" 2 est, non seulement générale, mais encore 
caractéristique pour les courbes de Bertrand, puisque la pro- 
priété réciproque a été établie dans tous les cas.. 
13. — Le théorème précédemment démontré trouve son appli- 
cation dans la solution du problème traité par M. Goursat, pour 
définir géométriquement les surfaces dont les lignes asympto- 
tiques d'une famille sont égales entre elles. Excluant les sur- 
faces réglées et les hélicoïdes, qui possèdent évidemment cette 
propriété, et désignant par S les autres surfaces répondant à la 
question, je me propose de démontrer l'élégant théorème de 
M. Goursat, en le complétant, comme il a été dit ci-dessus. Pour 
plus de clarté, je reproduis d'abord le raisonnement de l'auteur. 
Soit une surface S dont les asymptotiques égales seront dési- 
gnées par iv). On peut engendrer S parle déplacement d'une de 
ces lignes {v) dont les points décrivent des trajectoires {u). 
Considérons les binormales de la courbe {v) qui, d'après la- 
définition des asymptotiques, sont normales à S. Pendant le 
déplacement, ces binormales seront normales aux trajectoires {u) 
de leurs points et appartiendront, dès lors, à chaque instant, au 
complexe linéaire défini par l'équation (3). 
Je dis d'abord que ce complexe linéaire change avec la posi- 
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