194 . MÉMOIRES. 
tion du trièdre T auquel on suppose que la ligne génératrice est 
invariablement liée. S'il en était autrement, en effet, les rap- 
ports des coefficients ^, yj, t, p, ^, r de l'équation de ce com- 
plexe seraient constants, l'axe central resterait fixe dans le sys- 
tème invariable et, par suite, dans l'espace. Comme le pas de la 
vis instantanée est pareillement constant, le déplacement du 
système serait hélicoïdal et la surface appartiendrait à la classe 
des hélicoïdes, déjà mise de côté. 
14. — On doit donc supposer que le complexe représenté par 
l'équation (3) varie avec la position du trièdre T, et comme, 
d'autre part, tous les complexes ainsi obtenus ont une infinité 
de droites communes, savoir les binormales de (î?), de deux 
choses l'une : ou bien ces binormales forment, pour un système, 
les génératrices rectilignes d'une quadrique, ou bien elles font 
partie d'une congruence linéaire. 
Je dis que le premier cas ne peut avoir lieu. Si, en effet, les 
binormales de {v) appartenaient à un même système de géné- 
ratrices rectilignes d'une quadrique, (-y) serait la ligne de stric- 
tion de la quadrique, en même temps qu'une trajectoire ortho- 
gonale des génératrices du système considéré. Or, il est clair 
que ces conditions ne sont satisfaites, à la fois, que si la qua- 
drique est un paraboloïde équilatère, dont la ligne de striction 
se compose effectivement des deux génératrices A et B passant 
parle sommet, lesquelles coupent à angles droits les généra- 
trices du système dont elles ne font point partie. Mais, dans ce 
cas, {v) serait l'une des droites A ou B, et l'on obtiendrait, 
pour S, une surface réglée contrairement à ce que nous sup- 
posons. 
Il ne reste donc que la seconde hypothèse, en vertu de 
laquelle les binormales de (?;), n'étant pas situées sur une qua- 
drique, appartiennent nécessairement à une congruence linéaire 
et rencontrent, par suite, les deux directrices de la congruence 
qui sont deux droites distinctes ou confondues. Ces droites D 
et D' sont toutes deux à distance finie, car si l'une d'elles était 
rejetée à l'infini, les binormales de {p) seraient parallèles à un 
plan fixe, et la courbe (v) se réduirait, ou bien à une ligne 
