SUR UNE PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE. 195 
droite engendrant une surface réglée, ou bien à une courbe 
plajie, ce qui ne saurait avoir lieu pour les asymptotiques d'une 
famille de S. 
15. — On peut, dès lors, appliquer aux binormales de toute 
ligne (v) le théorème du no2. Dans le déplacement par lequel la 
ligne (v) engendre la surface S , les pieds O et 0' de la perpen- 
diculaire commune aux directrices D et D' de la congruence 
linéaire qui contient les binormales de (v), décrivent des courbes 
de Bertrand conjuguées (O) et (0'), distinctes l'une de l'autre 
si D et D' ne se confondent pas, et admettant, à chaque instant, 
cette perpendiculaire commune pour normale principale. Le 
mouvement du système est produit par le déplacement simul- 
tané des trièdres principaux invariablement liés entre eux, de 
ces courbes (0) et (0'). 
Si les directFices D et D' coïncident, les positions successives 
de D sont les binormales d'une courbe à torsion constante dont 
le trièdre principal entraîne la ligne (v) dans son déplacement. 
La courbe (O) est aussi la trajectoire du point central O de D', 
Le cas où la courbe de Bertrand dégénère en une hélice 
cylindrique ne peut se présenter, parce que, comme nous 
l'avons déjà dit, les directrices D et D' sont toutes deux à dis- 
tance finie. 
16. — Il s'agit maintenant de démontrer la réciproque de la 
proposition précédente. 
Soit (v) une courbe dont les binormales rencontrent deux 
droites fixes D et D', situées à distance finie et que, d'abord, 
nous supposerons distinctes. Rapportons la figure à un trièdre 
T choisi comme il a été dit au n" 5 et imprimons ensuite à ce 
trièdre un déplacement pour lequel les composantes ^, -/j, Ç de 
la vitesse de l'origine A et celles p, q, r, de la rotation instan- 
tanée vérifiant les équations (5), ce qui est possible d'une in- 
finité de manières, puisque les rapports des six composantes 
précitées ne sont assujettis qu'à vérifier quatre équations. On a 
vu, d'ailleurs, que ce déplacement est produit par le déplace- 
ment simultané des trièdres principaux des courbes de Ber- 
trand conjuguées décrites par les pieds et 0' de la perpendi- 
