196 MÉMOIRES. 
culaire commune à D et D'. La courbe (^v) invariablement liée 
à D' et D' sera entraînée dans le déplacement dont il s'agit. Je 
dis que les positions successives de (v) formeront une famille 
d'asymptotiques de la surface engendrée qui sera, par suite, 
une surface S. 
Pour le prouver, il suffit d'observer que, d'après la troisième 
partie de notre théorème, les binormales de (v) qui, par hypo- 
thèse, rencontrant D et D', resteront constamment normales, 
pendant le déplacement, aux trajectoires (u) décrites par les 
points correspondants de la ligne (v) et seront normales, par 
cela même, à la surface lieu des portions de (v). Les binormales 
de ces diverses lignes étant normales à la surface engendrée, 
on en conclut que ces lignes elles-mêmes forment une famille 
d'asymptotiques de la surface qui est, dès lors, une surface S, 
comme on se proposait de l'établir. 
A toute courbe {v) dont les binormales rencontrent D et D' 
correspondent ainsi une infinité de surfaces S. On retrouve 
donc la première partie de la proposition de M. Goursat, 
d'après laquelle le déplacement de (v) dépend d'une fonction 
arbitraire d'une seule variable. On voit, de plus, que la déter- 
mination analytique du mouvement est réalisée par trois qua- 
dratures, savoir celles qui sont requises pour obtenir, dans un 
système d'axes fixes, les équations de la courbe de Bertrand, 
la plus générale. 
17. — Le cas où les directrices de la congruence linéaire à 
laquelle appartiennent les binormales de (v) se confondent se 
traiterait de la même manière. Dans ce cas, la courbe (0) dont 
le trièdre principal définit le déplacement est à torsion cons- 
tante. On est donc en droit d'énoncer le théorème suivant : 
Si l'on met de côté les surfaces réglées et les hélicoïdes, la 
surface la plus générale dont les asymptotiques d'une famille 
sont des courbes égales est engendrée, pendant le déplacement 
simultané des tr.ièdres principaux de deux courbes de Ber- 
trand conjuguées (0) et (0'), par une courbe (v) dont les binor- 
males sont assujetties à rencontrer deux directrices rectilignes 
D et D' que l'on obtient, dans une position quelconque de ces 
