SUR UNE PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE. 197 
trièdres, en menant, par chacun des points correspondants des 
deux courbes, la parallèle à la binormale de l'autre courbe au 
second point. Les positions successives de la courbe (v) consti- 
tuent la famille des asymptotiques égales. 
Lorsque la courbe de Bertrand est à torsion constante et se 
confond, par suite, avec la courbe conjuguée, les droites D et 
D' se confondent pareillement avec l'une des binormalesde (0). 
La courbe génératrice (v) est définie par cette condition que ses 
binormales doivent rencontrer D ou 0^ et être tangentes, en 
leur point de rencontre avec Oz, à la surface réglée lieu des 
binormales de (O) (n" 10). 
Les autres cas particuliers des courbes de Bertrand donnent 
les surfaces réglées et les hélicoïdes, comme on s'en rend 
compte aisément. 
18. — La construction générale des surfaces S dépend, en 
conséquence, de celle des courbes (v) dont les binormales ren- 
contrent deux droites fixes. La recherche de ces courbes paraît 
présenter de grandes difficultés, car s'il est relativement facile 
d'obtenir leurs équations différentielles , il n'en est pas de 
même de leurs équations finies dont la formation nécessite 
l'intégration d'une équation différentielle du second ordre qui 
n'a pu être encore effectuée, du moins à ma connaissance. Le 
lecteur pourra s'en assurer en se reportant à l'article précité, 
où M. Goursat a envisagé le cas dans lequel les directrices de 
la congruence sont rectangulaires, et qui correspond visible- 
ment au déplacement du trièdre principal d'une coui-be à cour- 
bure constante. 
Jusqu'à présent, la seule utilité de cette équation différen- 
tielle a été d'établir l'existence des courbes (v) et, par suite, 
celle des surfaces S dont elles sont les génératrices. Toutefois, 
on peut parvenir à ce résultat au moyen de considérations 
géométriques très simples que je vais exposer rapidement en 
me bornant au cas où les deux directrices D et D' sont dis- 
tinctes. 
Remarquons d'abord (ju'en vertu d'une propriété connue et 
déjà rappelée, les lignes (v) sont les lignes de striction des sur- 
