SUR LES GRANDEURS MATHEMATIQUES. 285 
Ce chiffre, que l'on ne peut séparer du signe — , ne peut être 
confondu avec TAlquotité unité ; c'est un signe d'opération et 
non une Quotité en soi. 
Il va nous être facile de l'établir. 
La Sous-eœponation géométrique est le problème consistant 
à trouver un carré ou un cube équivalent à une figure plane ou 
spaciale donnée; le côté du carré ou du cube étant la y 
de l'opération faite. * 
Que signifie la Sous-exponation dans le cas de l'uniplication? 
Nous avons vu que l'uniplication change le signe de l'expona- 
tion 2. Lorsque l'un des deux facteurs a est porté dans la direc- 
tion de — b (fig. 4), on change a^ en — a^; il est facile de cons- 
tater que dans ce cas la rotation de la diagonale a une valeur 
particulière, qui est de 90°. 
En effet, les parallélogrammes figuratifs deviennent des 
losanges, et comme les diagonales sont perpendiculaires dans 
ce cas particulier indiqué par les traits pointillés de la figure 4, 
la rotation de la diagonale OC ^ par suite d'un changement de 
signe, est bien de 90<', quel que soit le Sens de la rotation 
obtenue et quelle que soit l'inclinaison des axes de coordonnée. 
Lorsque a^ devient — «^ la sous-exponation a devient 
a V — 1; donc, dans le cas de Métriquotités, multiplier un vec- 
teur a par y — 1 c'est le faire tourner de 90", quel que soit le 
système de coordonnées rectilignes, comme le multiplier par 
— 1 ou le changer de Sens, c'est le faire tourner de 180". 
Une preuve que cette interprétation est bien exacte, c'est que 
si l'on effectue deux fois la rotation y — 1, c'est-à-dire si l'on 
multiplie le vecteur par y — Ix V — 1 = — 1, on le fait tour- 
ner de 180". 
Cette remarque fournit donc une interprétation géométrique à 
y — 1 qui n'en comporte ni en algèbre, ni en arithmétique; 
elle indique bien que dans ce cas, le — 1 qui figure sous le V^ 
n'est pas l'unité numérique, mais le symbole d'identité des deux 
facteurs du produit; ce n'est pas 2 — 1 ou l'unité susceptible de 
