SUR LES POLYNÔMES DÉRIVÉS. 181 
5. Du DÉVELOPPEMENT DES POLYNÔMES. — Si l'on remplace 
h par mœ , nous pouvons établir l'égalité suivante : 
A[a?(m + l)f + B[ic(m+1)]"-|- C[a;(m-fl)J "'+... + Ka;(m + 1) 
n n-1 n-2 
zzkx+Bœ -f-G^ +..:-|-Kâ7 + 
fv) / n «-1 «-2 \ 
-\--!-{nkx -\-{n — \)Bx -{■{n-'^)Cx + ...J + 
+ ^(n(n— 1)A^"4- (n— l)(n— 2)Bir"' + (w— 2)(n— 3)0^"' + ...^ + 
±.'^\nXx^. {m 
Si l'on suppose hzn — a?, la formule (12) donne 
n «-1 n-2 
A^ + Bit; + Go; + ... + Kx 
— ^(nkx''-\-{n — \)Bx'' + {n—2)(^x" + ••.) 
— ^(^^(n— l)Aiz?"+ (n— l)(n— 2)Ba;" + (^^— 2)(n— SjG^c" "+ ...^ + 
-\- ...±^\nkx^. (13) 
La formule (12) conduit encore à l'égalité suivante qui résulte 
de l'hypothèse m + l=zN, etA = B=:Gz=... zzKzzl, 
n n-1 n-2 n n-1 n-2 
(Nû?) +(Nâ7) +(Na?) -}-... + N^ = a; +a; +^7 +... + a; + 
"M 1/ n n-1 n-2 \ 
■^—^\nx ■\-{n-\)x Jf{n-2)x + ...j + 
+ î^— — ^(w(n— l)â? + (w— l)(w— 2)07 + (n— 2)(n— 3)a? -|-...j+ 
(N — 1)» « 
+ ^-^:-r — ^ \nœ . (14) 
