16 MÉMOIRES. 
La forme réduite (I) est celle qui convient au cas général : 
les coefficients A, B, G sont les coefficients de l'équation carac- 
téristique mise sous la forme 
S3 — CS 2 — RS — A: 
a— Sb c 
a' O'—Sc' 
a" b" c" 
A(S)-0; 
nous désignons par A (S) le déterminant caractéristique de 
la substitution. Cette forme réduite s'applique pourvu qu'au- 
cune des racines de l'équation caractéristique n'annule à la 
fois tous les mineurs de A (S) : aucune autre hypothèse n'est 
nécessaire au sujet des racines qui-peuvent être simples ou 
multiples. Le système (1) conduit immédiatement pour u à 
l'équation différentielle 
d 3 u d 2 u du 
dt 6 dt 3 dt 
qu'on intègre par la méthode connue : c'est seulement dans 
cette intégration que s'introduit la distinction entre le cas des 
racines simples et celui des racines multiples. Après avoir ob- 
tenu u, on en déduit v et w par les dérivations, 
du 
dv 
« = V > *=* 
puis x, ?/, z à l'aide des formules de transformation ()2. 
La forme (II) du système réduit convient au cas où l'équa- 
tion caractéristique admet une racine (nécessairement double) 
annulant tous les mineurs du premier ordre de A (S) sans an- 
nuler tous les éléments de A (S). Dans ce cas, l'équation 
S- — A,S — B, = 
est celle qu'on obtient en égalant à zéro le quotient de A (S) par 
le plus grand commun diviseur des mineurs du premier ordre 
