SUR L'EMPLOI DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES. 23 
Exemple III. — Nous iivons supposé le déterminant des 
coefficients différent de zéro dans le système différentiel 
donné (1). Cette hypothèse avait été faite dans le mémoire : Sur 
une forme canonique nouvelle; c'est en nous plaçant unique- 
ment dans ce cas que nous avons étudié la réduction des subs- 
titutions linéaires et établi la légitimité de la forme réduite (G). 
Mais il est facile de voir que la méthode d'intégration subsiste 
entièrement, même dans le cas singulier où le déterminant 
est nul. Nous nous bornerons ici à un exemple, sans reprendre 
pour l'instant la théorie générale. Il y aurait lieu d'ailleurs de 
traiter ce problème de la réduction des substitutions linéaires 
gulières ou homographies dégénérées, et de donner pour 
ce cas des formes réduites appropriées, analogues à celtes que 
nous avons données dans le cas général - 
Soit le système : 
(/./■ 
777 
— 
.'/ 
(U 
— 
: 
<!;■ 
— 
.i 
- Il 
auquel correspond la substitution, 
\ — Z—r 
Z =: * — y, 
substitution à déterminant nul. 
Partons de la forme linéaire ? x — .r et de ses transformées 
successive* P», IV On a : 
P,— x P, -;/ — ; P.rry-M— 2x. 
Posons : 
M: X~n 
r ir 
v—'i — i d'où ;/ — m + .-, + — 
"• -y + - — •-'■'• : ~ U ~ : > + V 
