86 MÉMOIRES. 
milieu de chacune des bases impaires, les carrés 1, 9, 25, 
49 ..... n^ de la série des impairs ; et que, dans les bases de 
rang pair, le milieu de chacune d'elles est virtuellement occupé 
par les nombres 4, 16, 36 , c'est-à-dire par la suite des 
carrés des nombres pairs. 
La hauteur du triangle est donc formée par la suite des 
carrés des n premiers nombres. 
De plus, dans chaque base, la moyenne arithmétique de 
deux impairs symétriques par rapport à la médiane est le 
carré n- correspondant à la base n dans laquelle ces nombres 
figurent ; de sorte qu'une base quelconque est formée par 
2, 3, 4 n impairs successifs dont le total est 2, 3, 4 n 
fois le carré de 2, de 3, de 4 ..... de n, c'est-à-dire 2^, 3^ 
43 nK 
Cette remarque permet d'écrire immédiatement la suite 
des n nombres impairs consécutifs, dont le total est n^. 
Appelons N„ le nombre des impairs contenus dans les trian- 
gles successifs ; nous voyons que pour une base quelconque n 
ce nombre N„ =: 1 + 2 -f- 3 + 4 + 5 = n{n^i) ^ 
Or, la somme des unités contenues dans la suite des N nom- 
bres impairs à partir de l'unité est égale à N^; il en résulte 
que, pour chacun des nombres N„ on a : 
«=[^t^]' 
On trouve ainsi, directement, la valeur de la somme des 
cubes des n premiers nombres entiers, puisque 
N2= i'+ 23 + 3-' + n\ 
Comme vérification, on constate que l'une quelconque des 
bases est la différence 
Les impairs qui limitent chacune des bases des triangles 
successifs constituent les séries 1, 3, 7, 13, 21 pour le côté 
gauche et 1, 5, 11, 19, 29 pour le côté droit du triangle. 
