QUELQUES PROPRIÉTÉS d'uN TRIANGLE. 87 
La différence des termes correspondants de ces deux séries 
donne la suite des nombres pairs ; mais, pour le côté droit, la 
série des nombres, pairs commence à partir de 4. 
Les côtés du triangle correspondent respectivement aux 
séries 2N„_i + 1 ou n(n — i) + 1 et à 2N„ + 1 :::^^(w + 1) - 1. 
Ces deux séries fournissent un autre moyen de trouver les 
impairs successifs dont la somme fournit un cube donné. 
La formation des carrés à l'aide de nombres impairs expli- 
cite pourquoi 
3^ -f 4' = 52. 
On a, en effet : 
3211:1 + 3 + 5 = 9 
42 = I +3 + 5 + 7 = 16 
52 = I + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 
qui permet de voir sans aucun calcul que 
52 - 4-^ = 9 
ou que 
52 m 4^ + 9 zz 4^ + 32. 
La formation des cubes qui vient d'être définie montre éga- 
lement pourquoi 
33 + 43 _|_ 53 — G3. 
On a, en effet : 
33= 7 + 9 + II 
43= i3 + i5 + 17 + 19 
53 =z 21 + 23 + 25 + 27 + 29. 
De sorte que : 
33 _|_ 43 _|_ 53 gg^ yj^g g^pjg arithmétique de 3 + 4 + 5 := 12 ter- 
mes dont la raison est 2 et dont la somme : 
(29 + 7) + (27 + 9) + (25 + ii) + (23 + i3) + (2i + i5) + (i9 + i7) 
est égale à : 
3i + 33 + 35 + 3^ + 3g + 4i — 6 X 36 = 6 X 62 = 63. 
