bO MEMOIRES. 
On voit également que ces relations ne peuvent pas avoir 
lieu pour d'autres suites de nombres entiers successifs. 
Le triangle d'impairs permet d'autres remarques intéres- 
santes. 
Un triangle quelconque de base n est décomposable en sa 
base n^ et en un nombre d'impairs dont la somme 
j,i^,j 
est un carré n. 
Comme tout triangle de base n contient 
,-o_ [f^n + i)' 
unités, 
il en résulte que 
■nin + i)y- 
,,s + \1(!LZ^ 
(>) 
Il est facile de vérifier que cette équation est bien une 
identité qui fournit les binômes 
Ces binômes, dont la forme est déterminée par l'équa- 
tion (1) et par les triangles successifs qu'elle représente, 
donnent les valeurs : 
2^ -|- i2 zz 32 pour /i =: 2 
3^ -|- 3^ 13 G^ pour n iz: 3 
^3 _j_ f)2 -— jq2 pour n n: 4 
5' -j- 10^ zz i5- pour /i zz 5 
etc., 
qui sont encore exactes si l'on supprime les exposants. 
Ce fait résulte de ce que les nombres qui entrent dans ces 
relations sont fournis par la condition 
n(n— i) _ n{n-{- i) 
Il -\- — , 
2 2 
qui est l'équation (1) dont on a supprimé les exposants. 
