DU FIL FLEXIBLE. 
que X, sera une fonction différente de sin. i a ., et qu’il est pos. 
sible que cette fonction X, soit définie par une équation diffé¬ 
rentielle. Vice-yersâ si la fonction X, était définie par une équa¬ 
tion différente de l’équation (7), la courbe LQRS ne serait 
plus une circonférence de cercle, mais une autre courbe fer¬ 
mée. Supposons pour un moment que la courbe LQRS soit 
telle que la fonction X, satisfasse à l’équation ( 5 g), et que la 
constante h soit une certaine fonction de la longueur OP,; il est 
visible que pouvant prendre n valeurs différentes pour O P,, 
il y aura nécessairement n valeurs pour h qui toutes auront 
la propriété de rendre nulle la fonction X„. Mais la difficulté se 
réduit à déterminer la nature de la courbe LQRS pour laquelle 
on aurait M, P, = X,- = à l’intégrale de l’équation ( 5 g). Si l’on 
pouvait assigner cette courbe par une équation algébrique, on 
pourrait déterminer, par des comparaisons, la nature de la 
fonction que h représente ; et l’on aurait sur-le-champ, par 
une simple construction , toutes les racines de l’équation 
X ra + 1 o. 
3 a. D’après ce qui précède on voit que la fonction X, don¬ 
née par l’équation ( 5 g) a beaucoup d’analogie avec les. lignes 
trigonométriques; et que les racines de l’équation algébrique 
X„+ I = o dont le degré est n , ou bien, que les valeurs de k 
qui satisfont à l’équation (61), dépendent de la division, en 
parties égales, de la moitié de la circonférence d’une certaine 
courbe rentrante dont la nature nous est encore inconnue. On 
voit de plus que toutes ces racines doivent être nécessairement 
réelles, puisque la division de l’arc de la courbe est toujours 
possible. Mais lors même que l’on aurait la fonction X, expri¬ 
mée sous forme finie, et que l’on pourrait tracer facilement la 
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