DU FIL FLEXIBLE. 
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finie, ou bien, croître ou décroître indéfiniment, à mesure que 
l’on donnera à k une valeur de plus en plus grande. Cette in¬ 
certitude nous empêche de connaître, en général, si les séries, 
que fourniraient les développemens des formules (76) et (77), 
seront convergentes ou non; mais il ne serait pas difficile de 
s’en assurer dans les divers cas particuliers. Revenons à l’é¬ 
quation ( 83 ). 
45 . Si l’on substitue à la place de X la fonction que nous 
avons désignée par <p (kx), et si on met pour k une quelconque 
des racines /f,de l’équation (87), on aura l’intégrale particulière 
(88).... y=ay{k,x)cos.tv / k t + b cp(£,x)sin.Zi/ 
La formule (88) sera aussi l’intégrale complète de l’équation 
(82) si elle peut représenter l’état initial de la chaîne qui est 
supposé arbitraire. Et il est bien facile de prouver qu’il peut 
exister une infinité d’états primitifs de la chaîne pour lesquels 
la formule (88) en devient l’intégrale complète, et par consé¬ 
quent la solution la plus simple et la plus exacte en même temps. 
Dans tous les autres cas il faudra prendre la somme de toutes 
les intégrales particulières que peut fournir la formule (88) en 
les multipliant successivement par des coefficiens arbitraires; 
et déterminer ensuite ces coefficiens de manière que la somme 
des intégrales particulières satisfasse à l’état initial. Nommons 
Y et V l’ordonnée y et la vitesse v correspondantes à t— o; et 
pour distinguer les abscisses qui répondent à t—o de celles que 
l’on prend pour une valeur quelconque du temps, désignons 
les premières par X. En nommant de plus a,, b n a a , b,, a 3 , b 3 , etc, 
les constantes successives indéterminées, on devra avoir 
