HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 
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Second moyen, proposition 29. « Qu’une spirale d’Archimède soit 
prise pour la base d’un cylindre droit; que l’on conçoive un cône de 
révolution ayant pour axe l’arête du cylindre menée par l’origine de 
la spirale; ce cône coupera la surface cylindrique suivant une courbe 
à double courbure 1 ; 
)) Les perpendiculaires abaissées des différens points de cette courbe 
sur l’arête en question du cylindre, formeront la surface héliçoïde 
rampante (que Pappus appelle en cet endroit surface plectoïde); 
» Un plan mené par une arête de cette surface, et convenablement 
incliné, la coupera suivant une courbe dont la projection orthogonale 
sur le plan de la spirale sera la quadratrice demandée. » 
Ces deux constructions consistent, l’une et l’autre, à couper la 
surface héliçoïde rampante par un plan mené par une arête, et à 
projeter la section sur un plan perpendiculaire à l’axe de la vis. 
Dans la première solution, on détermine la surface de la vis au 
moyen d’une hélice, par laquelle on fait passer les génératrices de 
cette surface ; et dans la seconde construction on détermine ces géné- 
trices par le moyen d’une courbe à double courbure qui est l’inter¬ 
section d’un cylindre droit qui a pour base une spirale, par un cône 
de révolution qui a pour axe l’arête du cylindre menée par l’origine de 
la spirale. 
§ 27. Nous remarquerons que ces deux constructions reposent sur 
les deux propriétés suivantes de la surface héliçoïde rampante, que 
Pappus n’énonce pas expressément, mais qui se trouvent démontrées 
dans ses deux propositions 28 et 29 : 
1 Cette courbe est Yhèlice conique : elle est une des lignes à double courbure que les An¬ 
ciens ont connues. Proclus en parle dans son Commentaire sur la 4° définition du 1 er livre 
d’jEuclide. Dans les temps modernes cette courbe a occupé plusieurs géomètres , parmi lesquels 
on distingue Pascal (De la dimension d’un solide formé par le moyen d’une spirale autour d’un 
cône; OEuvres de Pascal, tom. V, pag. 422) ; et Guido Grandi ( Epistola ad Th. Cevam ; OEu- 
vres posthumes d’Huygens , tom. II). 
M. Garbinski, professeur à l’université de Varsovie, a donné, il y a quelques années , une 
construction graphique des tangentes à cette hélice conique (voyez Annales de mathématiques, 
tom. XVI, pag. 167 et 376). 
