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HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 
BIEN ECHOIE. 
ARCHITÀS. 
de deux moyennes proportionnelles entre le côté du cube donné et le 
double de ce côté ; ce qui probablement a donné lieu au problème gé¬ 
néral des deux moyennes proportionnelles. 
Celui-ci a été résolu de différentes manières qui toutes font honneur 
aux géomètres de l’antiquité. La première solution est due à Platon, 
qui employa un instrument composé d’une équerre sur l’un des côtés 
de laquelle glisse une droite qui lui est perpendiculaire, et reste con¬ 
séquemment parallèle au second côté; premier exemple sans doute, 
d’une solution mécanique d’un problème de Géométrie. 
Menechme, disciple de Platon, se servit des lieux géométriques , 
qui furent deux paraboles, ayant même sommet et leurs axes rectangu¬ 
laires ; ou bien une parabole et une hyperbole entre ses asymptotes. 
Eudoxe, autre disciple et ami de Platon, se servait de certaines 
courbes qu’il avait inventées pour cet objet ; malheureusement sa solu¬ 
tion ne nous est point parvenue; et nous ne savons quelles étaient ses 
courbes. 
La solution d’Arcbitas, célèbre pythagoricien dont Platon avait suivi 
les leçons en Italie, était purement spéculative ; mais elle a cela de 
remarquable qu’elle faisait usage d’une courhe à double courbure, 
qui parait être la première qui ait été considérée par les géomètres ; du 
moins elle est la plus ancienne de celles qui nous sont parvenues *. 
Les quatre solutions du problème des deux moyennes proportion¬ 
nelles que nous venons de citer sont, comme on voit, essentiellement 
différentes. Ce problème continua pendant un grand nombre de siècles 
d’occuper les géomètres, qui en multiplièrent les solutions. Eutocius, 
1 Voici la description de cette courbe : « Que, sur le diamètre de la base d’un cylindre 
.> droit circulaire, on conçoive un demi-cercle dont le plan soit perpendiculaire à celui de la 
n base du cylindre ; que le diamètre tourne autour d’une de ses extrémités et emporte, dans 
» ce mouvement circulaire, le demi-cercle, toujours situé dans un plan perpendiculaire à 
» celui de la base du cylindre ; ce demi-cercle rencontrera dans chacune de ses positions la 
» surface cylindrique en un point; la suite de tous ces points formera la courbe à double 
» courbure en question. » 
Pour résoudre le problème des deux moyennes proportionnelles, Arcbitas coupait cette 
courbe par un cône de révolution autour de l’arête du cylindre, menée par l’extrémité fixe du 
diamètre du demi-cercle mobile ; le point d’intersection donnait la solution cherchée. 
