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HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 
inconnue de nos jours, mériterait bien de prendre place dans les élé- 
mens ou au moins dans les complémens de Géométrie \ 
Les cinquante théorèmes de Stewart peuvent être compris, à peu 
près, tous dans les quatre suivans, qui sont les plus généraux, et dont 
la plupart des autres ne sont que des cas particuliers : 
1° Soit un polygone régulier de m côtés, circonscrit à un cercle 
du rayon R; soit n un nombre quelconque plus petit qtie m; 
Si d'un point quelconque (pris dans l’intérieur du polygone si n 
1 Quand le point D est pris sur la même droite que les trois points fixes, le théorème de 
Stewart exprime une relation générale entre quatre points quelconques situés en ligne droite. 
Nous avons reconnu que cette relation, ainsi que d’autres concernant aussi quatre points en 
ligne droite, dérivent d’une relation générale entre cinq points situés en ligne droite : 
Soient A , B , C , D, E , ces cinq points , on aura 
ËÂ? BC.CD.DB -+- ËïT CD.DA.A€ — ËcT DA.AB.BD — ËÏÏ7 AB.BC.CA = o. 
La manière de former les termes de cette équation est manifeste. Pour déterminer leurs 
signes, on divisera tous les termes par le produit AB.BC.CA. L’équation prend la forme : 
DA.DC 
BA.BC 
__ 2 DB.DC 
EA. . ... 
4- EB. 
Dans cette équation, on donnera le signe -4- au produit de deux segmens comptés dans le 
même sens à partir du point qui leur est commun, et le signe — au produit de deux seg¬ 
mens comptés dans des sens différens. 
Voici quelles sont les relations entre quatre points, qu’on dédiiit de la relation générale 
ci-dessus : 
1° Si on suppose le point E à l’infini, on aura, en divisant par ED , 
BC.CD.DB + CD.DA.AC — DA.AB.BD — AB.BC.CA =o. 
Chaque terme de cette équation est le produit des trois segmens formés par trois points 
pris deux à deux ; 
2° Si les deux points E, D se confondent, il vient : 
DA.BC. -t- DB.AC — DC.AB = o. 
Cette équation exprime la relation la plus simple entre quatre points A, C,B, D, situés 
en ligne droite; 
3° Enfin, quand le point D est à l’infini, l’équation générale devient 
EAéBC + EB. 2 AG — EC.'AB = AB.BC.CA. 
C’est l’équation de Stewart. 
