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HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 223 
Ce théorème appartient à M. Poncelet, qui Ta donné dans son Traité 
des propriétés projectives (art. 610), et en a montré l’usage pour l’étude 
des propriétés d’un système de coniques ayant toutes un double contact 
avec une même conique. Si l’on y joint, comme dans la projection sté- 
réographique proprement dite, un second théorème relatif à la projec¬ 
tion des sommets des cônes circonscrits à la surface du second degré 
suivant ses sections planes, cette théorie nouvelle offrira un champ de 
recherches intéressantes et inépuisables, et où se trouveront résolus 
une foule de problèmes sur la construction des coniques assujéties à 
des conditions diverses. ( Voir la Note XXVIII.) 
§ 28. Les méthodes comprises dans notre deuxième division, qui 
paraissent étrangères les unes aux autres, et sont destinées à des usages 
pratiques différens, peuvent, étant considérées comme moyen théo¬ 
rique de déformation des figures, être résumées en un seul et unique 
ïl suit de cette construction que , si l’on désigne par ô l’angle que la transversale mh. 
fait avec la tangente, le rayon de courbure sera égal à K~ —-— . — . 
2 sin. 6 7? T 
Si la courbe est du degré m, r et x contiendront m facteurs linéaires, P en contiendra 
m — 1 , et T en contiendra m ■— 2. 
Quand la courbe sera tracée, ces facteurs seront des lignes comprises sur les transversales; 
et quand la courbe sera déterminée par son équation, on connaîtra immédiatement, au 
moyen de cette équation, les valeurs des quatre produits P, T, r, r; ce qui résulte, 
comme on sait, de la théorie générale des équations. 
Quand la courbe est tracée , il faut qu’elle le soit complètement, c’est-à-dire que toutes ses 
branches soient décrites, pour que les transversales la rencontrent en autant de points que l’in¬ 
dique le degré de la courbe. Par exemple , si la courbe est une de celles du quatrième degré , 
appelées ovales de Descartes, il faut connaître sa compagne, qui est une seconde ovale, 
jouissant des mêmes propriétés que la première, qui n’est point indiquée par la construc¬ 
tion géométrique que Descartes et d’autres géomètres ont donnée de ces courbes, mais qui 
est renfermée dans la même équation. ( Voir la Note XXI.) 
Les constructions précédentes peuvent être simplifiées, parce qu’au lieu de quatre trans¬ 
versales, parallèles deux à deux, on peut n’en mener que trois, dont deux issues du point 
de la courbe, et la troisième tout-à-fait arbitraire. Cette modification des solutions ci-dessus 
repose sur la belle propriété générale des courbes géométriques donnée par Carnot dans 
sa Géométrie de position , pag. 291. 
M- Poncelet a aussi donné une construction des tangentes aux courbes géométriques 
dans son Mémoire présenté, en septembre 1831 , à l’Académie des Sciences de Paris, sous 
le titre : Analyse des transversales appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes 
et surfaces géométriques. {Voir le tom. VIII du Journal de M. Crelle, pag. 229.) 
Méthodes de déform 
tion des figures. 
