HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 
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ont lieu entre ces deux modes de construction, de manière à conclure 
toujours l’un de l’autre. 
§ 37. Nous sommes entré dans des considérations, peut-être trop 
développées, pour bien pénétrer le lecteur de cette idée, que la dualité 
de l’étendue ne provient nullement des circonstances de construction 
qui avaient semblé, dans la théorie des polaires réciproques, faire le 
caractère distinctif des modes de transformation propres à mettre cette 
dualité en évidence. 
Il résulte aussi de ces considérations, que la théorie des polaires 
réciproques n’est pas le mode de transformation le plus général. Mais 
si c’eut été la seule vérité que nous eussions voulu mettre en évi¬ 
dence , il nous aurait suffi de dire que, dans le mode général, qui 
comprend tous les autres, on peut, pour construire la figure corréla¬ 
tive d’une figure proposée, prendre arbitrairement dans l’espace cinq 
plans comme correspondant à cinq points désignés de la première 
figure; tandis que dans la théorie des polaires réciproques, deux figures 
corrélatives ont entre elles des dépendances beaucoup plus restreintes. 
Car si l’on y considère deux tétraèdres dont les sommets de l’un cor¬ 
respondent aux plans du second, les quatre droites qui joindront les 
sommets du premier respectivement aux sommets du second, opposés 
aux plans qui correspondent aux quatre sommets du premier, ces 
quatre droites, dis-je, seront toujours quatre génératrices d’un même 
mode de génération d’un hyperboloïde à une nappe 
Les autres modes de transformation offrent pareillement quelques 
dépendances particulières de situation entre les figures et leurs trans¬ 
formées, mais qui sont différentes de celle que nous venons d’enoncer 
pour les figures polaires réciproques. 
1 Cela provient de ce que les droites qui joignent les quatre sommets d un tétraèdre aux pôles 
des faces opposées, pris par rapport à une surface du second degré quelconque, sont quatre géné¬ 
ratrices d’un même mode de génération d’un hyperboloïde à une nappe. 
Ce théorème, que nous avons démontré dans les Annales de mathématiques, tom. XIX, 
pag. 76, est susceptible d’un grand nombre de corollaires. On en conclut, par exemple, que 
les quatre perpendiculaires abaissées des sommets d’un tétraèdre sur les faces opposées , sont quatre 
génératrices d’un même mode de génération d’un hyperboloïde. 
a théorie des polaires 
n’est pas le mode 
de transformation le 
plus général. 
