HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 
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du paraboloïde auxiliaire par deux plans d’une figure, est égal à la pro¬ 
jection orthogonale, faite sur cet axe, de la droite qui joint les deux 
points de l’autre figure qui correspondent à ces deux plans. 
Ces deux modes de transformation ont été appliqués l’un et l’autre, 
et avec la même facilité, à toutes les relations qui se présentent dans 
la théorie des transversales. Le premier l’a été de plus à quelques re¬ 
lations particulières d’angles, par exemple aux théorèmes de Newton 
et de Maclaurin sur la description organique des coniques 1 ; et le 
second à plusieurs relations de distances rectilignes, particulièrement 
aux théorèmes de Newton sur les courbes géométriques, ce qui nous 
a conduit à un genre tout nouveau de propriétés de ces courbes 2 . 
S 39. Outre cette différence entre les dépendances générales de gran¬ 
deur, ces deux modes de transformation diffèrent encore l’un de l’autre 
par les relations descriptives, qui leur donnent à chacun quelque chose 
de particulier et de restreint. 
Par exemple, quand on emploie une sphère pour surface auxiliaire, 
s’il se trouve une autre sphère dans la figure qu’on veut transformer, 
il lui correspondra dans la nouvelle figure une surface du second degré 
de révolution ; on n’aura donc point les propriétés générales d’une sur¬ 
face du second degré quelconque. 
Pareillement, quand on prend pour surface auxiliaire un parabo¬ 
loïde, si l’on a à transformer les propriétés d’une figure où entre un 
ellipsoïde, il lui correspondra toujours dans la seconde figure un hy- 
perboloïde, et jamais un ellipsoïde. Mais ce n’est pas ce manque de 
généralité qui offre le plus d’inconvéniens. C’est que toutes les droites 
qu’on peut considérer dans la figure proposée comme étant situées à 
l’infini, auront leurs dérivées, dans la seconde figure, toutes parallèles 
à l’axe du paraboloïde, et par conséquent concourantes en un point 
1 Mémoire de M. Poncelet, sur les polaires réciproques. 
2 Nous citerons, par exemple , le théorème suivant, qui appartient à ce nouveau genre de 
propriétés des courbes : Si l’on mène à une courbe géométrique toutes ses tangentes 'parallèles 
à une droite quelconque, le centre des moyennes distances de leurs points de contact sera un point 
unique, quelle que soit la direction commune des tangentes. Nous avons appelé ce point le centre 
de la courbe. La même propriété a lieu dans les surfaces géométriques. 
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