HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 
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Note placée à la suite de ce Traité des surfaces du second degré, se 
trouve démontrée, pour la première fois, l’une de leurs plus belles 
propriétés, à savoir que les trois surfaces douées d’un centre, l’ellip- 
géométrique, qui a passé dans l’enseignement de l’école , et a été reproduite dans divers ou¬ 
vrages. (hoirie Traité de Géométrie descriptive de M. Vallée , pag. 86; et celui de M. Leroy, 
professeur à l’école polytechnique , pag. 267.) 
Cette démonstration repose sur ce théorème : Étant donné un quadrilatère gauche ABCD, 
si une droite mobile s’appuie sur les deux côtés opposés AB, CD, en deux points m, n, tels 
que l’on ait 
mk «D 
m B «C ’ 
a étant une constante, cette droite engendrera un hyperboloïde à une nappe. Car elle s’appuiera 
dans toutes ses positions sur toute autre droite qui rencontrerait les deux autres côtés op¬ 
posés du quadrilatère en deux points p , q, tels que l’on ait 
qk joB 
gl) pi] 
(Voir Correspondance polytechnique, tom. II , pag. 446.) 
La démonstration de ce théorème est très-facile, puisqu’elle n’exige que la connaissance 
du théorème de Ptolémée, sur le triangle coupé par une transversale. ( Correspondance poly¬ 
technique, tom. III, pag. 6). Depuis, la théorie du rapport anharmonique m’en a offert une 
seconde démonstration , encore plus simple et plus élémentaire , qui ne repose absolument 
que sur la notion du rapport anharmonique. ( Voir la Note IX.) 
Ce théorème s’applique aussi à la génération des sections coniques et exprime une belle 
propriété générale de ces courbes. ( T oir la Corresp. mathém. de M. Quetelet, t. IV, p. 363). 
En disant que la double génération de l’hyperboloïde à une nappe prit naissance dans 
l’école polytechnique , nous n’entendons parler que de l’hyperboloïde à axes inégaux ; et nous 
devons ajouter que la double génération, par une droite, de l’hyperboloïde à une nappe 
de révolution, était connue, mais peut-être oubliée, car sa découverte date de loin, et a 
été reproduite rarement. Nous trouvons qu’elle est due à Wren, qui la fit connaître dans une 
note très-courte, insérée dans les Transactions philosophiques (année 1669, pag. 961), sous 
le titre : Generatio corporis cylindroidis hyperbolici, elaborandis lentibus hyherbolicis acco- 
modati. Wren indique l’usage qu’on pourra faire de ce mode de génération par une droite, 
pour la construction de lentilles hyperboliques. 
En 1698 , Parent a aussi trouvé cette propriété de l’hyperboloïde de révolution, qu’il a 
démontrée dans deux mémoires différens ; par l’analyse et par de simples considérations de 
Géométrie. ( Essais et Recherches de mathématiques et de physique, tom. Il, pag. 643, et 
tom. III, pag. 470.) Cette propriété, que n’ont pas les autres surfaces produites par la ré¬ 
volution d’une conique autour d’un de ses axes principaux, fait dire à Parent que 1 hy¬ 
perboloïde à une nappe est la plus complète de ces surfaces, puisqu’on y peut faire six 
sections différentes, savoir : l’espace parallèle, l’angle rectiligne, le .cercle, la parabole, 
l’ellipse et l’hyperbole. Ce géomètre appelle cette surface cylindroïde hyperbolique, de 
même que Wren, et se sert aussi de sa propriété d’être engendrée par une droite, 
