HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 
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degré \ Ce théorème, qui sera utile pour transporter aux courbes 
planes du troisième degré, certaines propriétés des courbes à double 
courbure du quatrième, et vice versa 2 , peut recevoir une sorte de 
généralisation qui en rendra souvent les applications plus faciles et 
plus étendues. On peut dire que la courhe d’intersection de deux 
surfaces du second degré donne en perspective sur un plan , F œil 
étant placé en un point de cette courbe, toutes les courbes du troi¬ 
sième degré. 
§ 52. La belle proposition de M. Quetelet était de nature à faire 
supposer que la projection, ou plus généralement la perspective, de 
l’intersection de deux surfaces du second degré, pouvait aussi pro¬ 
duire toutes les courbes planes du quatrième degré, et qu’il suffisait 
pour cela de placer l’œil en dehors du périmètre de la courbe. Mais 
nous croyons pouvoir répondre négativement à cette question ; et dé¬ 
terminer, par le théorème suivant, la nature particulière des courbes 
du quatrième degré que produit la perspective de la courbe de péné¬ 
tration de deux surfaces du second degré; savoir, quWe telle courbe a 
toujours (et généralement, c’est-à-dire sauf les modifications parti¬ 
culières) deux points doubles ou conjugués ; lesquels peuvent être 
imaginaires. 
Ce théorème mérite queîqu’attention. Car les conséquences qu’on 
en tire sont nouvelles, et répondent à des questions qui ont occupé 
les géomètres dans ces derniers temps. 
On en conclut d’abord que la courbe du quatrième degré, qui provient 
de la perspective de l’intersection de deux surfaces du second degré, 
ne peut admettre plus de huit tangentes issues d’un même point, pris 
arbitrairement dans son plan ; tandis que la courbe plane du quatrième 
degré la plus générale admet douze tangentes issues d’un même point. 
1 Correspondance mathématique de Bruxelles, tom. Y, pag. 195. 
2 Par exemple, de ee qu’une courbe plane du troisième degré a généralement trois points 
d’inflexion, qui sont en ligne droite , on conclut que, 1° par un point quelconque de la courhe 
à double courbure du quatrième degré, en question, on peut mener généralement trois plans qui 
soient osculateurs à. cette courbe en trois autres points ; et 2° ces trois points et celui par lequel 
sont menés les trois plans, sont tous quatre dans un même plan. 
Tom. XI. 
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