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HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 
On conclut encore de là, que la développable circonscrite à deux sur¬ 
faces du second degré, est généralement, et au plus, du huitième degré. 
On n’avait point encore indiqué le degré de cette surface ; M. Poncelet 
s’étant borné à dire qu’il ne pouvait dépasser le douzième \ 
Les applications du théorème en question, à la théorie des courbes 
planes du quatrième degré, seront nombreuses ; car on rencontre 
beaucoup de ces courbes que l’on reconnaît provenir de la perspective 
ou de la projection de l’intersection de deux surfaces du second degré 1 2 . 
§ 53. Ayant à parler des courbes à double courbure du troisième et 
du quatrième degré, nous avons commencé par celles-ci, parce que nous 
croyons qu’elles sont les seules dont on se soit occupé jusqu’ici. Les 
premières cependant sont beaucoup plus simples et plus faciles à étu¬ 
dier. Nous avons trouvé qu’elles jouissent de diverses propriétés inté¬ 
ressantes, et qu’elles se présentent dans beaucoup de questions. Cette 
matière pourrait donner lieu à un ample développement que nous 
devons omettre ici. 
1 Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques, art. 103; Journal mathématique 
de M. Crelle, tora. IV. 
2 Ainsi, par exemple, les ovales de Descartes, ou lignes aplanétiques, sont la projection 
stéréographique de la ligne de pénétration d’une sphère par un cône de révolution ( Théorème 
de M. Quetelet, voir la note XXI). On conclura de là que ces célèbres ovales ont toujours deux 
points conjugués imaginaires situés à l’infini. Ce que l’on ne verrait peut-être pas par d’autres 
voies; car on a négligé jusqu’à présent, dans la recherche des points singuliers des courbes, 
les solutions imaginaires , et même aussi les points situés à l’infini, lesquels échappent souvent 
à l’analyse. Les uns et les autres cependant font partie des affections particulières des courbes, 
et doivent jouer un rôle important dans leur théorie. 
Ainsi encore, les lemniscates formées par les pieds des perpendiculaires abaissées d’un point 
fixe sur les tangentes d’une conique, sont les projections stéréographiques de l’intersection 
d’une sphère et d’un cône du second degré ( Théorème de M. Dandelin ; voir le 4 e vol. des 
Nouveaux Mémoires de VAcadémie de Bruxelles) ; on en conclut que ces courbes ont deux 
points conjugués imaginaires à l’infini. On sait qu’elles ont un troisième point double ou con¬ 
jugué toujours réel, qui est le point par où l’on mène les perpendiculaires ; on conclut de là 
que ces courbes admettent seulement six tangentes issues d’un même point. D’autres considé¬ 
rations de Géométrie plane m’ont encore conduit à ce résultat. 
Beaucoup d’autres courbes du quatrième degré ont pareillement des points conjugués ima¬ 
ginaires situés à l’infini. Telles sont les spiriques ou sections planes de la surface annulaire ; la 
cassinoïde, etc., etc. 
