HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 
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principe de dualité en algèbre. D’abord comme moyen d’intégration dans 
plusieurs cas; et ensuite comme pouvant donner, par l’expression algé¬ 
brique de certains résultats de Géométrie, divers théorèmes d’algèbre. 
Nous allons expliquer en peu de mots cette double application du 
principe de dualité à l’analyse algébrique. 
§ 8. A une surface donnée, correspond, suivant le principe de dua¬ 
lité, la surface corrélative; et à chacune des propriétés de la première 
surface correspond une propriété de la seconde. 
Si la première surface est exprimée par une équation (dans un sys¬ 
tème quelconque de coordonnées), les relations géométriques qui ont 
lieu entre elle et la seconde surface serviront à passer de cette équa¬ 
tion à celle de la seconde surface, dans le même système de coordon¬ 
nées : et, réciproquement, à passer de l’équation de cette seconde 
surface à celle de la première ( Nous donnerons les formules qui servent 
à cela dans le système de coordonnées de Descartes). Si la première 
surface est représentée seulement par une équation aux différentielles 
partielles, à cette équation en correspondra une autre qui sera sa cor¬ 
rélative et qui appartiendra à la seconde surface. Cette autre équation 
sera généralement différente de la proposée, et pourra se prêter plus 
ou moins facilement qu’elle aux méthodes d’intégration. Si l’on peut 
l’intégrer, on aura l’équation de la seconde surface, et l’on passera, par 
les formules en question, de cette équation à celle de la première sur¬ 
face; ce sera donc l’intégrale de l’équation aux différences partielles 
proposée. 
Cette méthode est celle, comme on voit, que nous avons développée 
dans la Note XXX sur les surfaces réciproques de Monge, comme 
ayant pu avoir été l’objet de cette théorie des surfaces réciproques. 
Cette méthode, considérée analytiquement et abstraction faite de 
toute considération géométrique, n’est au fond qu’un mode de trans¬ 
formation algébrique, dont les relations entre les variables correspon¬ 
dantes nous sont indiquées à priori par l’expression analytique des 
relations qui ont lieu entre les figures corrélatives construites suivant 
le principe de dualité. 
