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HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 
9. Yoici quelle sera la seconde manière de faire servir le principe 
de dualité à la découverte de divers théorèmes d’algèbre. 
Que l’on ait trouvé par ce principe un théorème de Géométrie ; et 
qu’en cherchant à démontrer ce théorème par l’analyse, c’est-à-dire, 
par la méthode des coordonnées, on éprouve une difficulté insurmon¬ 
table provenant de l’imperfection actuelle de la science algébrique, 
on cherchera à préciser le point de difficulté, ou en d’autres termes, 
la notion algébrique qu’il serait nécessaire d’admettre pour arriver à 
la conclusion désirée. Cette notion algébrique sera un théorème d’al¬ 
gèbre, qui se trouvera, de la sorte, démontré par des considérations 
géométriques. 
Un exemple éclaircira suffisamment cette manière de procéder. 
Supposons qu’on veuille démontrer par la méthode des coordonnées 
en usage, ce théorème : Si à une surface géométrique donnée on mène 
tous ses plans tangens parallèles à un même plan transversal , leurs 
points de contact avec la surface auront pour centre des moyennes 
distances un même point de l’espace , quelle que soit la position du 
plan transversal. 
En représentant par F {x, y , z)= o l’équation de la surface, on 
trouve que les coordonnées des points de contact des plans tangens, 
sont données par cette équation et par les deux suivantes : 
c/F 
dz 
a et b étant les deux quantités angulaires qui déterminent la direction 
commune aux plans tangens. Éliminant y et z entre ces trois équa¬ 
tions, on aura une équation résultante en x dont les racines seront 
les abscisses des points de contact des plans tangens avec la surface. 
Il faudra donc, d’après le théorème énoncé, que la somme de ces ra¬ 
cines soit la meme, quelle que soit la direction commune des plans 
