NOTES. 
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du cône par le plan ; et les droites suivant lesquelles ce plan sera rencontré par les 
plans des courbes de contact des sphères et du cône , seront les directrices correspon¬ 
dantes à ces deux foyers respectivement. 
M. Dandelin a étendu ce théorème aux coniques considérées dans l’hyperboloïde de 
révolution, au lieu du cône droit 1 ; et depuis, nous l’avons généralisé encore, en le 
rattachant, comme corollaire, à une propriété générale des surfaces du second degré. 
( Annales de mathématiques, tom. XIX, pag. 167.) 
Un autre corollaire de cette propriété générale, est lui-même une propriété des foyers 
considérés dans le cône oblique, savoir que : 
Un cône oblique étant coupé par un plan quelconque , si l’on inscrit dans le cône 
une surface du deuxième degré, qui soit tangente à ce plan , de manière que le point 
de contact soit l’extrémité d’un des deux diamètres lieux des centres des sections 
circulaires de la surface , ce point de contact sera le foyer de la section faite dans le 
cône par le plan. 
Ce théorème est très-général; mais on conçoit qu’il ne pourrait pas conduire à la dé¬ 
couverte des foyers d’une conique, et qu’il n’est pas propre à la démonstration des 
propriétés de ces points. Le théorème de MM. Quetelet et Dandelin, au contraire, con¬ 
vient parfaitement pour cet objet ; mais il ne concerne que les coniques prises dans le 
cône droit. Il reste donc encore à trouver le moyen de tirer de la nature du cône oblique 
la connaissance et les propriétés des foyers. 
Nous proposerons pour cela deux méthodes : 
La première consiste à prendre le plan coupant ( supposé perpendiculaire au triangle 
par l’axe, comme dans les coniques d’Apollonius ) de manière que l’axe du cône fasse 
avec ce plan un angle égal à celui qu’il fait avec le plan de la base du cône. 
Le point où cet axe percera le plan coupant sera le foyer de la section. 
Ce foyer correspondra au centre du cercle qui sert de base au cône, c’est-à-dire qu’il 
en sera la perspective; et dès lors les propriétés de ce centre donneront des propriétés 
caractéristiques du foyer. 
La deuxième manière consiste à étudier d’abord les propriétés du cône, abstraction 
faite des sections qu’y peut produire un plan coupant. On y trouve d’abord des propriétés 
concernant deux plans menés par le sommet du cône, dont l’un est parallèle au plan de 
la base (laquelle est un cercle), et l’autre au plan d’une section sous-contraire; et ensuite 
d’autres propriétés où deux lignes droites , menées d’une certaine manière par le sommet 
du cône, jouent, sous un rapport, un rôle analogue à celui de ces deux plans , et présen¬ 
tent une grande analogie avec les foyers des coniques. 
Si l’on coupe le cône par un plan perpendiculaire à l’une de ces deux droites, la 
conique qui en résultera aura pour foyer le point où ce plan coupera cette droite ; et 
une partie des propriétés de la droite , considérée dans le cône, s’appliqueront à ce foyer 
considéré par rapport à la conique. 
1 Mémoires de VAcadémie de Bruxelles, tome ÏII. 
