NOTES. 
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Depuis, nous ne trouvons plus de traces du théorème de Ptolémée, qui, après avoir 
été fort en usage, et connu de tous les géomètres, pendant près de deux cents ans, est 
resté infructueux, et peut-être même ignoré, pendant plus d’un siècle, jusqu’à ce que 
Carnot, qui était parvenu de lui-même à ce théorème, parmi plusieurs autres de même 
nature, concernant le quadrilatère plan, l’eût fait connaître comme l’un des plus utiles 
et des plus féconds en Géométrie rationnelle. Nous devons dire cependant que, quelques 
années auparavant, Schubert l’avait déjà reproduit, comme lemme pour la trigonométrie 
sphérique de Ptolémée 1 ; et qu’un autre géomètre du Nord , N. Fuss, s’en était aussi servi, 
ainsi que du théorème analogue dans la Géométrie de la sphère, pour démontrer quelques 
propositions, telles que celle belle propriété du cercle, que Fuss attribue àD’Alembcrt : 
« les points de concours des tangentes communes à trois cercles, pris deux à deux, sont en 
ligne droite 2 . » 
Des auteurs que nous avons nommés, Mersenne seul a présenté le théorème en question 
comme étant de Menelaus; la plupart l’ont attribué à Ptolémée; quelques-uns n’en ont 
point indiqué l’origine : ceux-ci sont, Maurolycus, Desargues, Pascal et Ceva : ce dernier 
y est probablement parvenu de lui-même. 
M. Flauti, dans sa Geometria di sito, avait déjà remarqué l’usage que Pappus a fait 
de ce théorème dans le livre huit de ses Collections mathématiques. Nous avons em¬ 
prunté du Mémoire de M. JBrianchon sur les lignes du second ordre, nos citations de 
Maurolycus et de Schubert, et du Traité des propriétés projectives de M. Poncelet, celle 
de Desargues. Nous ne doutons point que l’on n’en puisse trouver beaucoup d’autres que 
celles que nous venons d’ajouter à ces premières. Car le théorème en question a dû être 
très-familier aux Arabes, qui avaient commenté et illustré dans plusieurs écrits son ana¬ 
logue sur la sphère, qu’il sert à démontrer : et les mathématiciens d’Europe, en recevant 
ces théorèmes des Maures, en firent aussi le sujet de leurs méditations. Tel est Simon de 
Bredon, anglais du XIY” siècle, dont on conserve plusieurs écrits sur cet objet dans la 
bibliothèque Bodléienne, comme nous l’apprend le savant Halley dans sa traduction des 
sphériques de Menelaus. 
Quant à l’origine des deux théorèmes, elle paraît remonter à Hipparque, qui avait pré¬ 
cédé Ptolémée et Menelaus dans le calcul des cordes et la trigonométrie. On conçoit très- 
bien que ce célèbre astronome ail déduit la propriété du triangle sphérique de celle du 
triangle rectiligne; mais quelles spéculations géométriques ont pu le conduire à celle-ci ? 
Nous serions porté à penser que la découverte de ce théorème remonte à Euclide , et qu’il 
a fait partie de ses porismes. Car il est dans le genre de différens lemmes que Pappus nous 
a laissés sur ces porismes; et l’un de ces lemmes (proposition 137 du septième livre des 
Collections mathématiques ), qui ne diffère du théorème en question que par un rapport 
de deux segmens substitué à un autre, nous paraît avoir pu être destiné à faciliter la dé¬ 
monstration de ce théorème. 
1 Trigonometria sphærica è Ptolemæo ; Nova Acta de Pétersbourg, ann. 1794 , tora. XII, pag, 165. 
2 Nova Acta Petropolitana , ann 1797 et 1798, tom. XIV. 
