NOTES. 
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NOTE VIII. 
(première époque, § 29.) 
Description des spirales et des quadratrices, an moyen d’une surface héli- 
çoïde rampante. Analogie de ces courbes avec celles qui portent le même 
nom dans le système de coordonnées de Descartes. 
Les constructions de la spirale et de la quadratrice, laissées par Pappus, ne sont que de 
simples applications de deux procédés généraux pour construire, par l’intersection de la 
surface héliçoïde rampante et d’une seconde surface déterminée convenablement, toutes 
les spirales , et une infinité d’autres courbes auxquelles je donnerai le nom de quadra¬ 
trices , parce qu’elles sont exprimées par les mêmes coordonnées que la quadratrice de 
Dinostrate. 
La seconde surface qu’il faudra employer sera , pour la construction des spirales, une 
surface de révolution autour de l’axe de la surface héliçoïde; et pour la construction des 
quadratrices, ce sera une surface cylindrique dont les arêtes seront perpendiculaires à 
l’axe de la surface héliçoïde. 
Nos constructions donnent immédiatement les tangentes et les cercles osculateurs 
des courbes que nous considérons. Mais elles ont pour principal avantage d’établir des 
relations géométriques constantes entre ces courbes et celles qui, dans le système de 
coordonnées ordinaires, portent le même nom; par exemple, entre la spirale hyper¬ 
bolique, et Xhyperbole, entre la spirale logarithmique et la logarithmique. Dans ce 
système, la spirale d’Archimède correspondra à la ligne droite. 
Jusqu’à présent ces courbes n’avaient entre elles d’autres rapports que la même forme 
d’équation entre des variables différentes, et cela n’établissait aucun lien de construction, 
ni aucunes relations géométriques entre elles. Le procédé qui fait servir les unes à la 
construction des autres conduit de la manière la plus satisfaisante aux propriétés qui ont 
rendu ces courbes célèbres, particulièrement la spirale logarithmique , et donne à priori 
les raisons géométriques de ces belles propriétés. 
Construction des spirales. — Concevons une surface de révolution, engendrée par 
une courbe quelconque autour d’un axe fixe situé dans son plan ; prenons cet axe vertical ; 
les perpendiculaires abaissées des points de la courbe sur cet axe seront ses ordonnées, et 
les distances des pieds de ces perpendiculaires à un point fixe de l’axe seront les abscisses. 
Supposons que le plan de la courbe tourne d’un mouvement uniforme , et qu’en même 
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