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NOTES. 
temps un point M, placé sur la courbe mobile, se meuve sur cette courbe comme si elle était 
immobile, et que le mouvemeut de ce point se fasse de manière que ses abscisses croissent 
uniformément. C’est-à-dire que le mouvement du point, estimé suivant l’axe de rotation, 
est proportionnel au mouvement de rotation. Le point M décrira ainsi, sur la surface 
de révolution , une certaine courbe à double courbure. 
La projection orthogonale de cette courbe, sur un plan perpendiculaire à l’axe de révo¬ 
lution , sera une spirale, dont nous allons tirer l’équation de celle de la courbe génératrice 
de la surface de révolution. 
Soit z = Fy, 
l’équation de la courbe génératrice ; considérons cette courbe à un instant de son 
mouvement; soit M le point générateur sur cette courbe ; son abscisse z sera proportion¬ 
nelle à la rotation éprouvée par le plan de la courbe, depuis l’origine du mouvement ; cette 
rotation se mesurera par l’angle que la trace du plan mobile sur un plan horizontal fera 
avec un axe fixe qui marquera l’origine du mouvement ; soit donc u cet angle ; on aura 
z = au-, et conséquemment au — F y. 
Soit m la projection du point M sur le plan horizontal, et O le pied de l’axe de révolution 
sur ce plan. Le rayon O m , que je désigne par r, est égal à l’ordonnée y du point M ; on a 
donc entre ce rayon et l’angle u , qu’il fait avec l’axe fixe dont nous venons de parler, la 
relation 
au = Fr. 
Cette relation est l’équation, en coordonnées polaires, de la projection de la courbe à 
double courbure tracée sur la surface de révolution. 
Remarquons maintenant que la perpendiculaire abaissée du point mo bile M, sur l’axe de 
révolution, engendre la surface d’une vis à filets carrés, qu’on appelle aussi surface héli- 
çoïde rampante ; car cette droite est toujours horizontale, et elle s’élève au-dessus d’un 
plan horizontal d’un mouvement uniforme, en même temps que le plan vertical qui la 
contient tourne uniformément autour de l’axe de révolution. 
Donc la courbe engendrée par le point M est à l'intersection de la surface de révolution 
par une surface héliçoïde. 
On a donc ce théorème : 
1° Toute spirale (nous entendons par spirale toute courbe représentée par une équation 
entre les deux coordonnées polaires r et u ) peut être considérée comme la projection 
de l’intersection d’une surface héliçoïde rampante par une certaine surface de révo¬ 
lution déterminée convenablement , ces deux surfaces ayant pour axe commun la 
perpendiculaire au plan de la spirale , menée par son origine ; 
2° au = Fr 
étant l’équation de la spirale, et a le rapport entre le mouvement ascensionnel et le 
