NOTES. 
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mouvement de rotation de la droite génératrice de la surface héliçoïde, l’équation de 
la courhe génératrice de la surface de révolution sera 
z = F y; 
les abscisses z étant comptées suivant l’axe de révolution , et les ordonnées y perpen¬ 
diculairement à cet axe. 
Pour la spirale d’Archimède, dont l’équation est au = r. 
L’équation de la courhe méridienne de la surface de révolution sera z=y ; c’est une 
droite; ainsi la surface de révolution sera un cône; c’est là un des deux théorèmes de 
Pappus. 
Pour la spirale hyperbolique, qui a pour équation ur— constante , 
L’équation de la section méridienne de la surface de révolution sera 
zy — a. const. = const. 
C’est une hyperbole équilatère, qui a l’une de ses asymptotes dirigée suivant l’axe de la 
surface héliçoïde. 
Pour la spirale logarithmique dont l’équation est 
u = log. r 
on aura 
z — a log. y; 
C’est l’équation d’une logarithmique dans laquelle les abscisses z sont proportionnelles 
aux logarithmes des ordonnées y. 
Ainsi : Si une logarithmique ordinaire engendre une surface de révolution, en tour¬ 
nant autour de son asymptote , et qu’on conçoive que cette asymptote soit l’axe d’une 
surface héliçoïde rampante, ces deux surfaces se couperont suivan t une courhe à dou¬ 
ble courbure dont la projection orthogonale , sur un plan perpendiculaire à l’asymp¬ 
tote , sera la spirale logarithmique. 
Tangentes aux spirales. — Soit M un point de l’intersection de la surface héliçoïde 
par la surface de révolution déterminée, comme nous avons dit, de manière à produire une 
spirale donnée. La tangente en un point m de cette spirale sera la projection de l’inter¬ 
section des plans tangens à ces deux surfaces au point M. Le plan tangent à la surface de 
révolution rencontrera l’axe de révolution en un point O ; je suppose que le plan horizontal 
sur lequel on a décrit la spirale passe par ce point O ; la droite OM se projette sur ce plan 
en O m ; c’est le rayon vecteur de la spirale 
Le plan tangent à la surface de révolution coupe le plan horizontal suivant une droite 
Ot perpendiculaire au rayon O m. 
Le plan tangent à la surface héliçoïde au point M passe par la génératrice de cette 
surface, laquelle est parallèle au rayon O m; la trace de ce plan sur le plan horizontal est 
donc parallèle au rayon O m. Il suffit donc, pour déterminer cette trace, d’en trouver un 
point. Or ce plan tangent passe par la tangente à l’hélice conduite par le point M sur la 
