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NOTES. 
surface héliçoïde ; cette tangente est dans îe plan vertical perpendiculaire au rayon Om; 
soit 6 le point où elle rencontre le plan horizontal et a l’angle qu'elle fait avec l’axe de la 
surface héliçoïde, on aura dans le triangle M mS, rectangle en m, mû — M m tang. a. Mais 
on sait, parles propriétés de la surface héliçoïde, que la tangente trigonométrique de 
l’angle «est proportionnelle à la distance du point M à l’axe de la surface; donc tang. « = 
O m. Const. Cette constante est égale au rapport qu’il y a entre le mouvement circulaire et 
le mouvement ascensionnel de la génératrice de la surface héliçoïde ; nous avons repré¬ 
senté ce rapport par — ; on a donc enfin 
Om Mm. Om 
tang. a = -• ; et mâ = —-— • 
a a. 
La droite ms est perpendiculaire au rayon vecteur Om; la trace du plan tangent à la 
surface héliçoïde est parallèle à ce rayon ; donc si on prend sur la droite Ot, perpendi¬ 
culaire à ce rayon , une partie 
Om.Mm 
0 < == mô = - , 
a 
le point t appartiendra à cette trace. Or cette droite O t est la trace du plan tangent à la 
surface de révolution; donc le point t appartient à l’intersection des plans tangens aux 
deux surfaces, et conséquemment ce point appartient à la tangente en m à la spirale qui 
est la projection de l’intersection de ces deux surfaces. 
La ligne Ot s’appelle , comme on sait, la sous-tangente de la spirale; la sous-normale 
est la partie On comprise sur le prolongement de la droite O# entre le point O et la nor¬ 
male à la courbe ; elle est égale au carré du rayon divisé par la soutangente ; ainsi : 
a. Om 
On — —-- 
M m 
Maintenant pour faire usage de ces formules, nous remarquerons que le plan tangent à la 
surface de révolution au point M, passant par le point O, la ligne M m est précisément égale 
à la sous-tangente de la courbe génératrice de la surface de révolution : cette sous-tangente 
étant prise sur l’axe de révolution. 
Appelons S cette sous-tangente , et remarquons que le rayon vecteur Om de la spirale 
est égal à l’ordonnée y de la courbe génératrice de la surface de révolution, nous aurons: 
Telles sont les expressions de la sous-tangente et de la sous-normale d’une spirale, en 
fonction de la sous-tangente et de l’ordonnée de la courbe génératrice de la surface de 
révolution. 
