NOTES. 
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Dans la spirale d’Archimède, la ligne génératrice est droite ; on = const. ; 
donc On = const. Donc 
Bans la spirale d’Archimède, la sous-normale est constante. 
Pour la spirale hyperbolique, la courbe génératrice est une hyperbole équilatère, dans 
laquelle on a , comme on sait, S. y — const., donc O t — const. ; donc 
Dans la spirale hyperbolique la sous-tangente est constante. 
Dans la logarithmique la soutangente comptée sur l’asymptote est constante, donc 
S = const. ; et conséquemment dans la spirale logarithmique, on a 
O t O t 
— = const. , ou —— = const. ; 
y i O m 
Or ~ est égal à la tangente trigonométrique de l’angle que la tangente à la spirale fait 
avec le rayon vecteur ; donc cet angle est constant; ainsi : 
Dans la spirale logarithmique la tangente fait un angle constant avec le rayon 
vecteur. 
Puisque O# est proportionnel à O m, on voit que si l’on porte sur le rayon vecteur une 
ligne égale à la sous-tangente, l’extrémité de cette ligne sera sur une spirale logarithmique 
semblable à la proposée; mais si on suppose que cette spirale fasse un quart de conversion 
autour de son centre, chacun de ses rayons viendra coïncider avec la sous-tangente corres¬ 
pondante de la proposée; donc les pieds des tangentes à cette spirale sont sur une seconde 
spirale qui lui est semblable; or deux spirales logarithmiques semblables entre elles sont 
nécessairement égales, parce que les angles que leurs tangentes font avec leurs rayons 
vecteurs sont égaux, et qu’à un angle donné ne correspond qu’une spirale; nous pouvons 
donc énoncer ce théorème : 
Dans la spirale logarithmique , les pieds des tangentes sont sur une seconde spirale 
logarithmique parfaitement égale à la première, mais placée différemment. 
La même propriété a également lieu pour les pieds des sous-normales. 
Rayons de courbure des spirales. Les spirales étant considérées comme la section 
droite d’un cylindre qui passe par la courbe d’intersection d’une surface de révolution par 
une surface héliçoïde rampante, on trouve aisément, au moyen des théorèmes d’Euler et 
de Meunier, la valeur de leur rayon de courbure en un point quelconque, en fonction du 
rayon de courbure de la courbe méridienne de la surface de révolution. Pour abréger cette 
Note, nous omettrons ici cette construction, sur laquelle nous reviendrons dans un autre 
moment. 
Nous renvoyons aussi à un autre écrit la construction des quadratrices , analogue à celle 
des spirales. 
