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NOTES. 
NOTE IX. 
(PREMIERE ÉPOQUE, § 30.) 
Sur la fonction anharmonique de quatre points, ou de 
quatre droites. 
Quand quatre points a, b, c, d sont en ligne droite, nous avons appelé la fonction 
ac bc 
ad ' bd 
le rapport anharmonique des quatre points. 
La proposition 129 e du septième livre de Pappus, signifie que : quand quatre droites 
sont issues d’un même point, toute transversale les rencontre en quatre points dont le 
rapport anharmonique a toujours la même valeur, quelle que soit la transversale. 
Cette propriété de la fonction anharmonique de quatre points la distingue de toute 
autre fonction qu’on pourrait former avec les segmens que ces quatre points font entre eux. 
Mais la fonction anharmonique jouit d’une autre propriété encore plus capitale, et dont 
celte première dérive, c’est que : 
Si d’un point pris arbitrairement on mène des droites aboutissant à quatre points 
situés en ligne droite, la fonction anharmonique de ces quatre points aura préci¬ 
sément pour valeur ce que deviendra cette fonction quand on y substituera, aux 
quatre segmens qui y entrent, les sinus des angles que feront entre elles les droites 
qui comprendront ces segmens. 
Cette fonction entre les sinus des angles de quatre droites issues d’un même point, sera 
dite fonction anharmonique des quatre droites. 
Ce théorème prouve que la fonction anharmonique de quatre points est de nature 
projective, c’est-à-dire, que cette fonction conserve la même valeur quand on fait la pro¬ 
jection ou perspective des quatre points auxquels elle se rapporte. 
On peut généraliser ce théorème , en menant par les quatre points quatre plans quel¬ 
conques , pourvu qu’ils se coupent suivant une même droite, prise arbitrairement dans 
l’espace; la fonction anharmonique des quatre points conservera la même valeur , 
si l’on y substitue , à la place des segmens, les sinus des angles dièdres que les 
plans qui comprennent ces segmens font entre eux. 
Nous avons exprimé le rapport anharmonique des quatre points a, b, c, d par la fonction 
ac bc 
ad ' bd 
