NOTES. 
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Mais on peut, tout aussi bien, prendre les deux autres fonctions 
ac de ab cb 
ab ’ db ’ ad cd 
On n’en peut pas former une quatrième semblable, avec les quatre points a, b, c, d. De 
sorte que le rapport anbn mn o /1 iq ne de quatre points peut s’exprimer de trois maniérés. 
Si 1 un des points est a 1 infini, ce rapport se simplifie, il ne contient que deux segmens. 
Ainsi soit le point d situé à l’infini, le rapport anharmonique des quatre points a,b,c et 
l’infini, s’exprimera des trois manières : 
ac ca ba 
cb ’ ab ’ bc 
Soient quatre points a, b, c, d situés en ligne droite, et quatre autres points a', b', &, d' 
situés sur une autre droite, et correspondans respectivement aux quatre premiers; suppo¬ 
sons que le rapport anharmonique de ceux-ci, soit égal au rapport anharmonique des 
autres; c’est-à-dire, que l’on ait l’une des trois équations suivantes : 
ac 
bc 
a'c' 
^ b'c' 
ad 
Td = 
Vd' 
: Vd:’ 
ac 
de 
a'c' 
d'e' 
_ • 
_ 
• 
ab 
db 
a'b' 
‘ d'h’’ 
ab 
cb 
a'b' 
c'V 
ad 
cd 
Vd' 
: 7d/‘ 
Je dis que les deux autres équations s’ensuivront nécessairement. Ainsi, l’une quel¬ 
conque des trois équations (A) comporte les deux autres. C’est une vérification qu’on 
pourrait faire par le calcul. Mais il est plus facile de se servir , pour démontrer cette 
propriété de la fonction anharmonique , d’une considération géométrique. 
Qu’on place les deux droites sur lesquelles sont situés les deux systèmes de points, 
de manière que les deux points correspondans d , d' se confondent en un point unique D; 
qu’on tire les trois droites aa',bb', ce' ; ces trois droites se couperont en un même point. 
Car soit S le point d’intersection des deux premières aa ’, bb'. Tirons SD et Sc; soit y 
le point où Sc rencontre la droite a'b'c' ; on aura par la proposition citée de Pappus : 
ac bc a’y b'y 
Vü ‘ bB «U ' ÂD’ 
Mais nous supposons que la première des équations (A) a lieu; y mettant D à la place 
de d , et la comparant à celle-ci, on en conclut que le point y se confond avec le point c'. 
D où il résulte que les trois droites aa', bb', ce' passent par un même point S. 
Considérant les quatre droites S aa', S bb', Scc' et SD, coupées par les deux transversales 
