NOTES. 
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C’est une relation identique entre les trois points 6, <x, y, supposés placés dans l’ordre 
où nous les écrivons. 
Ainsi, les équations (B) sont démontrées. 
.Remarquons que l’équation ci-dessus, qui devient, quand on chasse les dénominateurs, 
ab.cd — ac.hd -+- bc.ad — o, 
exprime une relation générale entre quatre points quelconques situés en ligne droite. 
Cette relation a été démontrée par Euler, algébriquement et géométriquement : par 
la première méthode, en substituant à certains facteurs leurs expressions en fonction 
des autres, de manière à produire une équation identique; et par la seconde méthode, 
en formant la figure qui représente les trois rectangles dont se compose l’équation; on 
voit aisément que l’un d’eux égale la somme des deux autres. ( Novi C ommentarii de 
Pétersbourg, tom. I er , ann. 1747 et 1748. Variœ demonstrationes Geometricœ.') 
M. Poncelet a démontré aussi la même relation dans son Mémoire sur les centres 
des moyennes harmoniques. ( Journal de M. Crelle, tom. III, pag. 269. ) 
Le cercle jouit, par rapport à quatre droites issues d’un même point, d’une propriété 
analogue à celle du système de deux transversales droites, exprimée par les équations 
(A) ou (B). 
Cette propriété consiste en ce que : 
Quand quatre droites, issues d’un même point, rencontrent une circonférence de 
cercle , la première en a, a'; la seconde en b, b'; la troisième en c, c' ; et la quatrième 
en d, d'; on a la relation 
sin. 5 ca sin. \ da sin. f c’a' sin. J d’a' 
sin. i cb * sin. \ db sin. i c'b' * sin. j d’b’ 
Cette équation est analogue à la première des équations (A). On aura semblablement 
deux autres équations semblables aux deux autres équations (A); et trois équations sem¬ 
blables aux équations (B). 
Cette propriété du cercle donne lieu à diverses propositions nouvelles. 
Nous appelons toute l’attention des géomètres sur la notion du rapport anharmoni- 
que, qui, bien que très-élémentaire, pourra être extrêmement utile dans une foule de 
spéculations géométriques, où elle procurera des démonstrations faciles et simples au¬ 
tant que possible. Nous en ferons usage dans la Note X, sur l’involution de six points, 
et dans les Notes XV cl XVI, pour démontrer, en. quelques mots, pour ainsi dire, les 
propriétés les plus générales des sections coniques. 
Cette théorie ne sera pas moins utile dans la Géométrie à trois dimensions. 
Proposons-nous, par exemple, de démontrer la double génération de l’hyperboloïde à 
une nappe par une droite, que nous présenterons sous cet énoncé : 
La surface engendrée par une droite mobile qui s’appuie sur trois droites fixes , 
peut être engendrée d’une seconde manière, par une droite mobile qui s’appuie sur 
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