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NOTES. 
trois positions de la première droite génératrice ; et cette surface jouit de la pro¬ 
priété que tout plan la coupe suivant une conique. 
La première partie de cette proposition repose sur les deux lemmes suivans, dont l’un 
est la réciproque de l’autre, et qui méritent eux-mêmes d'être énoncés comme théorèmes : 
Thorème I. Quand quatre droites s’appuient chacune sur trois droites fixes si¬ 
tuées d’une manière quelconque dans l’espace, le rapport anharmonique des segmens 
qu elles forment sur l’une de ces trois droites, est égal au rapport anharmonique 
des segmens qu’elles forment sur l’une quelconque des deux autres. 
Ainsi soient L, L', L" les trois droites données dans l’espace; a, h, c, d , les points 
où les quatre droites A, B, C, D, qui s’appuient sur elles, rencontrent la première L, et 
a , h', c', d'; a", b", c", d", les points où ces mêmes droites rencontrent les deux 
autres L', L". Je dis que le rapport anharmonique des quatre points a, h, c, d, est 
égal à celui des quatre points a , h', c, d. En effet, chacun de ces deux rapports est 
égal à celui des quatre plans qui ont pour intersection commune la droite L", et qui 
passent respectivement par les quatre droites A, B, €, D. Ces deux rapports sont donc 
égaux entre eux. 
Théorème II. Réciproquement : Si quatre droites s’appuient sur deux droites fixes 
dans l’espace , de manière que le rapport anharmonique des segmens quelles font sur 
l’une de ces deux droites soit égal au rapport anharmonique des segmens qu elles font 
sur l’autre, toute droite qui s’appuiera sur trois de ces quatre droites s’appuiera né¬ 
cessairement sur la quatrième. 
En effet, soient deux droites L, L' dans l’espace, et quatre droites A, B, C, D, qui 
rencontrent la première aux points a, b, c, d, et la seconde aux points a', h', c , d', de 
manière qu’on ait 
ca da c'a' d'a 
ch ' dh c'h' ‘ d'h ’ 
il faut prouver que ces quatre droites sont telles qu’une droite quelconque L", qui s’ap¬ 
puiera sur les trois premières A, B, C, rencontrera nécessairement la quatrième D. 
Pour cela, par le point d de la droite L, menons une droite D' qui s’appuie sur la droite 
L' et sur la droite L" ; soient d', d" , les points où elle rencontrera ces deux droites. 
Les quatre droites A, B, C, D', s’appuyant sur les trois droites L, L' et L", on aura, 
d’après le théorème I, 
ca da c'a' J'a' 
cb ‘ dh c'h' * i’h' 
Cette équation, comparée à la précédente, fait voir que le point à r se confond avec 
le point d. Ainsi la droite D' menée par le point d, de manière qu’elle s’appuie sur les deux 
droites L et L est précisément la droite D. La droite L”, qui s’appuie sur les trois 
droites A, B, C, s appuie donc sur la quatrième D. Ainsi le théorème est démontré. 
Maintenant, soient trois droites L, L', L" dans l’espace, et soient A, B, C, D, etc., 
