NOTES. 
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des positions différentes d’une droite mobile qui s’appuie sur ces trois droites : je dis 
qu’une droite quelconque M, qui s’appuiera sur les droites A, B, G, rencontrera né¬ 
cessairement une quatrième D. Car en vertu du théorème I, les quatre droites A, B, 
G, D, font sur les deux L, L', des segmens dont les rapports anharmoniques sont égaux; 
donc, en vertu du théorème II, une droite qui s’appuie sur les trois premières, ren¬ 
contre nécessairement la quatrième. 
Ainsi, quand une droite mobile s’appuie sur trois droites fixes, toute droite qui 
s’appuiera sur trois positions de la droite mobile, s’appuiera sur toutes les autres 
positions de cette droite. 
Cela exprime la première partie du théorème énoncé. 
Pour démontrer la seconde partie, concevons un plan transversal quelconque, qui 
rencontrera les deux droites L , L', en deux points 1 , 1', et les quatre droites A, B, G, D, 
en quatre points a, 6, y, d. Ces six points sont sur la courbe d’intersection de la sur¬ 
face par le plan. Il s’agit donc de démontrer qu’ils sont sur une section conique. Pour 
cela il suffit de faire voir, d’après une propriété générale des coniques, que nous 
démontrerons dans la Note XV, que les quatre droites menées des points a, 6, y, â, 
au point À, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites menées des 
mêmes points au point //. Or, le rapport anharmonique des quatre droites la, 16, ly, Id, 
est le même que celui des quatre plans menés par la droite L, et dont ces droites sont 
les traces sur le plan transversal; et ce rapport est le même que celui des quatre points 
où les droites A, B, G, D. par lesquelles passent ces plans, s’appuient sur la droite L'. 
Pareillement le rapport anharmonique des quatre droites l’a, l'6,l'y, l ’cA est égal à 
celui des quatre points où les mêmes droites A, B, G, D s’appuient sur la droite L. 
Mais ces deux rapports anharmoniques des points où les quatre droites A, B, G, D, ren¬ 
contrent les deux droites L, L', sont e'gaux entre eux (théorème I) : donc le rapport 
anharmonique des quatre droites la, 16, ly, Id, est égal à celui des quatre droites 
1 «> A'S, l’y, l'd. Donc les six points a, 6, y, â, 1, 1’, sont sur une conique, Donc la 
section de la surface par un plan transversal quelconque est une conique. C. Q. F. P. 
Ainsi le théorème de la double génération de l’hyperboloïde à une nappe par une 
droite est démontré complètement, et par des considérations géométriques toul-à-fait 
élémentaires. 
On démontre en analyse que les droites menées par un point de l’espace parallèle¬ 
ment aux génératrices de l’hyperboloïde, forment un cône qui est du second degré. 
La théorie du rapport anharmonique donne encore une démonstration extrêmement 
facile de cette proposition. Il suffit d’appliquer à la section du cône par un plan le 
raisonnement que nous venons de faire pour une section plane de l’hyperboloïde ; on voit 
que cette section est encore une conique. 
Corollaire. — Le théorème I, considéré par rapport à l’hyperboloïde, exprime cette 
propriété de celle surface : 
Quatre génératrices d’un meme mode de génération d’un hyperboloïde à une 
nappe font sur une génératrice quelconque du second mode de génération, quatre seg- 
