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NOTES. 
cation; et, réciproquement, celles-ci se déduisent aussi, aisément, des équations (B). 
Mais, puisque chacune des sept équations constitue, à elle seule, l’involution des six points, 
il faut que d’une quelconque on puisse aussi déduire celles du même groupe ; c’est-à-dire 
d’une des trois équations (A) les deux autres; et d’une des équations (B) les trois autres. 
C’est en effet ce que l’on peut faire par le calcul, en transformant les différens segmens 
de l’équation proposée en d’autres qui se prêtent à la démonstration cherchée. Mais cette 
sorte de vérification à posteriori est longue, exige des tâtonnemens, et n’a rien d’élégant. 
Aussi l’on se sert, pour montrer que l’une des sept équations (A) et (B) comporte les six 
autres, d’une propriété géométrique des six points, à savoir: qu’on peut faire passer par 
ces six points, les quatre côtés et les deux diagonales d’un quadrilatère. C’est ainsi 
qu’ont fait MM. Brianchon et Poncelet. 
Mais nous avons trouvé que la notion du rapport anharmonique de quatre points pro¬ 
cure une démonstration encore plus simple et plus directe, et conduit à beaucoup d’autres 
relations qui auront, comme les équations (A) et (B), leur degré d’utilité. Nous traiterons 
de cet objet dans la deuxième partie de celte Note. 
(7) Les équations (A), entre huit segmens, sont faciles à former. La nature des relations 
(B), dans chacune desquelles n’entrent que six segmens, ne paraît pas aussi facile, au 
premier abord, à saisir ni à exprimer. Mais cependant voici une règle que nous croyons que 
l’on pourra retenir sans efforts de mémoire. 
Qu’on prenne trois points A, B, C, appartenant aux trois couples; chacun deux fera 
deux segmens avec les conjugués des deux autres; on aura ainsi six segmens; le produit 
de trois de ces segmens, qui n’ont pas d’extrémité commune , est égal au produit des 
trois autres. 
(8) Considérons un quatrième système de deux points conjugués D, D', et supposons 
que ces deux points forment une involution avec les quatre A, A' et B, B'; on aura l’é¬ 
quation : 
AB. AB' __ A'B.A'B' 
AD. AD' ~ A'D.A 7 D 7 ’ 
La comparant avec la troisième des équations (A), on en conclut 
AC. AC' _ A'C.A'C' 
AD. AD' — A'D.A'D' ’ 
Ce qui prouve que les six points A, A', C , C' et D , D', sont en involution. 
D où suit cette propriété générale de l’involution des six points, savoir que : 
Si Von a en ligne droite plusieurs systèmes de deux points, tels que les deux pre¬ 
miers systèmes forment avec chacun des autres une involution ; trois quelconques de 
tous ces systèmes formeron t aussi entre eux une involution. 
Ce théorème admet plusieurs conséquences qui sont très-importantes dans la théorie 
de l’involulion. 
