NOTES. 
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duits aient le même signe; et pareillement quand les deux premiers points seront pris de 
côtés opposés par rapport à un point O. 
(13) Le théorème précédent, qui, je crois, n’a point encore assez fixé l’attention des 
personnes qui ont écrit sur cette matière, me paraît être la propriété la plus simple de 
l’involution de six points, et celle par laquelle se manifestera, le plus souvent, dans les 
spéculations géométriques, cette involution. 
Nous dirons que le point O, considéré dans une involution de six points, est le point 
central de l’involution. 
(14) Ce point central conduit naturellement aux points doubles, dont nous avons déjà 
parlé, et fait voir que ces points peuvent être imaginaires. 
En effet, soient A, A' ; B, B', les quatre premiers points d’une involution. Ils suffisent 
pour déterminer le point central O. Si les deux points A, A' sont d’un même côté par 
rapport à ce point O, il en sera de même des deux points B, B', et des deux autres points 
C, C' qui doivent compléter l’involution. On peut donc supposer que ces deux derniers 
se réunissent en un seul, que nous appelons E; et l’on aura, pour déterminer ce point, 
l’équation 
OA.OA' = OB.QB' ='ÔË\ 
Ce point E peut être pris arbitrairement d’un côté ou de l’autre du point O; de sorte 
qu’il y aura deux points E. 
Ainsi les quatre premiers points À, A' et B, B' étant donnés, l’involution pourra 
être complétée de deux manières par un cinquième point qui sera considéré comme 
double. 
Mais si l’on suppose que les deux premiers points A, A' soient placés de côtés différens, 
par rapport au point O, il en sera de même des deux B, B', et des deux C, C' qui doivent 
compléter l’involution; ces deux derniers ne pourront donc jamais se confondre. Ainsi 
dans ce cas il n’y aura pas de points doubles ; l’analyse donnerait pour leur construction 
une expression imaginaire. 
(15) Soient six points en involution A, A' ; B, B' et C, C’. Que les deux premiers soient 
du même côté du point central O; on pourra prendre, des deux côtés de ce point, deux 
points E, F, tels que 
OE 2 =ÔF 2 =:0A.0A'. 
Cette double équation exprime que les deux points E, F sont conjugués harmoniques 
par rapport aux deux premiers Â, A'. 
Mais on a aussi 
ÏÏfT = OF 2 OB. = OB' ; 
les deux points E, F sont donc aussi conjugués harmoniques par rapport aux deux points 
B, B', et de même pour les autres points C, C'. D’où résulte cette propriété, déjà connue, 
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