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NOTES. 
de l’involulion de six points, savoir quil existe deux points qui sont conjugués harmoni¬ 
ques par rapport aux deux points de chacun des trois systèmes de Vinvolution Ces deux 
points sont situés de part et d’autre, et à égale distance du point central de l’involution. 
Mais ces deux points peuvent être imaginaires. 
(16) Il est aisé de voir que, quand les deux points B, B' seront situés sur le segment 
AA', ou entièrement au dehors de ce segment, les deux points E, F seront réels ; 
Au contraire, quand l’un des deux points B, B' sera sur le segment AA', et l’autre sur 
son prolongement, les deux points en question seront imaginaires. 
En effet, dans le premier cas, le point O, qui est toujours réel, sera évidemment en 
dehors des deux segmens AA', BB', pour que Féquation OA.OA' = OB.OB' puisse avoir 
lieu; c’est-à-dire que les deux points A, A' seront placés du même côté du point O, et 
dès lors les deux points E, F seront réels. 
Dans le second cas, le point O sera évidemment placé sur la partie commune aux deux 
segmens AA', BB', et les deux points A, A' seront de côtés différens par rapport au point 
O ; et dés lors les deux points E, F seront imaginaires h 
(17) Les deux points E, F jouissent d’une autre propriété caractéristique, qui était 
démontrée par Apollonius dans son traité de sectione determinatâ, comme on le voit 
par les propositions 61,62 et 64 du septième livre des Collections mathématiques de 
Pappus; c’est que le rapport 
EA. EA' / FA.FA' \ 
EB. EB' ( ° U FB.FB' J 
est un maximum ou un minimum. C’est-à-dire que si l’on prend un autre point quelcon¬ 
que m, le rapport 
îmA.toA' 
wB.mB' 
atteindra son maximum ou son minimum quand le point m viendra se confondre avec l’un 
des deux points E, F qui sont conjugués harmoniques par rapport aux deux A, A', et par 
rapport aux deux B, B'. 
(18) Deux systèmes de points A, A' et B, B' et leur point central O, jouissent de la pro¬ 
priété suivante, démontrée par Pappus (propositions 45, 46 ,... et 56 du livre septième 
des Collections mathématiques) : 
Si l on prend sur la droite AB, ou sur son prolongement, un point quelconque m, 
on aura toujours la relation 
toA.toA' — wiB.wB' = (AB -t- A'B'). mO. 
1 51. Poncelet a présenté d’une autre manière cette discussion relative aux deux points E,F, en se servant 
de la construction géométrique propre à la détermination de ces deux points (Voir Traité des Propriétéspro¬ 
jectives , pag. 201). 
